计算以 (9,2,2)、(28,8,8)、(18,5,4) 为行的 3x3 矩阵的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   注意第 2 行有公因数。 $(28,8,8)$ 的每个元素都能被 $4$ 整除。某一行乘以 $k$ 会使行列式乘以 $k$，所以

   $\det=4\begin{vmatrix}9&2&2\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   这样能把数字压小 —— 元素一旦变大，这是个很重要的习惯。

2. 2

   再用行变换进一步简化。 第 $1$ 行减去第 $2$ 行（这不改变行列式的值），得到

   $4\begin{vmatrix}2&0&0\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   因为两行的第二、第三个元素都是 $2,2$。

3. 3

   按新的第一行展开。 只有位置 $(1,1)$ 的元素 $2$ 非零，其代数余子式符号为 $+$：

   $4\cdot 2\begin{vmatrix}2&2\\5&4\end{vmatrix}=8(8-10)=8(-2)=-16$

   $\boxed{-16}$

4. 4

   用原矩阵直接按代数余子式展开来验证。

   $9(8\cdot 4-8\cdot 5)-2(28\cdot 4-8\cdot 18)+2(28\cdot 5-8\cdot 18)$

   $=9(32-40)-2(112-144)+2(140-144)=-72+64-8=-16$

   两种做法结果一致。

5. 5

   与相邻的那道题对照。 只把中间一行从 $(27,7,7)$ 改成 $(28,8,8)$，行列式就从 $-9$ 变成 $-16$。行列式对元素的微小变化极为敏感，这正是考题里常常出现这类几乎一模一样的矩阵的原因 —— 每一个都必须从头算过。