化简 (6x − 6) / (12x² + x(x² − 2x + 1))。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分子因式分解。 两项都含因式 $6$：

   $6x-6=6(x-1)$

   露出来的这个 $(x-1)$ 很容易让人期待能约掉 —— 到底能不能约，要靠后面的计算来定。

2. 2

   把分母里的公因式 x 提出来。 完全平方式 $x^2-2x+1=(x-1)^2$，所以

   $12x^{2}+x(x-1)^{2}=x\left[12x+(x-1)^{2}\right]$

   注意最大公因式是 $x$ 而不是 $x^2$，因为第二项里只带了一个 $x$。

3. 3

   把方括号里展开合并。 这一步直接决定了最终答案：

   $12x+(x-1)^{2}=12x+x^{2}-2x+1=x^{2}+10x+1$

   $(x-1)^2$ 一旦和 $12x$ 相加，就不再是一个因式了。

4. 4

   拼起来，再检验有没有公因式。

   $\frac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}$

   $(x-1)$ 能整除 $x^2+10x+1$ 吗？代入 $x=1$：$1+10+1=12\neq 0$，由因式定理可知不能。所以一个因式也约不掉。

5. 5

   写出最简形式。

   $\boxed{\dfrac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}}$

   它在 $x\neq 0$ 且 $x\neq -5\pm 2\sqrt6$（即 $x^2+10x+1$ 的两个根）时成立。

6. 6

   做数值抽查。 取 $x=3$，原式是 $\dfrac{12}{108+3(4)}=\dfrac{12}{120}=0.1$，化简后的形式给出 $\dfrac{6(2)}{3(9+30+1)}=\dfrac{12}{120}=0.1$。两者一致，说明因式分解过程没有引入错误。