解不等式 −x² + 4x − 4 < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把首项的负号提出来，让结构显形。

   $-x^2+4x-4=-\left(x^2-4x+4\right)$

   括号里正是我们熟悉的完全平方三项式。

2. 2

   认出完全平方。

   $x^2-4x+4=(x-2)^2\quad\Longrightarrow\quad -x^2+4x-4=-(x-2)^2$

3. 3

   用平方的符号来判断。 对任意实数 $x$ 都有 $(x-2)^2\ge 0$，所以 $-(x-2)^2\le 0$。也就是说这个式子永远不会取正值；剩下要问的只是它在哪里等于零。

4. 4

   找出取等号的那一点。 $-(x-2)^2=0$ 当且仅当 $x=2$。而题目的不等号是严格的（是 $<0$，不是 $\le 0$），所以这一个孤立的点必须排除。

5. 5

   写出解集。

   $\boxed{x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty),\ \text{即所有实数 }x\neq 2}$

6. 6

   用判别式交叉验证一遍。 对 $-x^2+4x-4$，判别式是 $4^2-4(-1)(-4)=16-16=0$，说明抛物线与 $x$ 轴只相切于一点；又因为开口向下（$a=-1<0$），它在别处都严格位于该轴下方 —— 与上面的结论完全一致。抽几个点看看：$x=0$ 时值为 $-4<0$，$x=2$ 时为 $0$，$x=5$ 时为 $-9<0$。