求 (x³ + 7x² + 7x − 15) 除以 (x + 3) 的商。

Step-by-step solution

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   动手之前先把余式预判出来。 由余数定理，余式等于被除式在 $x=-3$ 处的值：$(-27)+7(9)+7(-3)-15=-27+63-21-15=0$。值为零说明 $x+3$ 是一个因式，所以这次除法会正好除尽。

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   第一步。 $\dfrac{x^3}{x}=x^2$。乘回去：$x^2(x+3)=x^3+3x^2$。相减：$7x^2-3x^2=4x^2$，落下 $7x$，得到 $4x^2+7x$。

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   第二步。 $\dfrac{4x^2}{x}=4x$。乘回去：$4x(x+3)=4x^2+12x$。相减：$7x-12x=-5x$，落下 $-15$，得到 $-5x-15$。

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   第三步。 $\dfrac{-5x}{x}=-5$。乘回去：$-5(x+3)=-5x-15$。相减得 $0$，与第一步的预判完全一致。

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   读出商，并继续往下分解。 商是 $x^2+4x-5$，它可以分解为 $(x+5)(x-1)$。所以这个三次式的完整分解是 $(x+3)(x+5)(x-1)$，它的根是 $-3$、$-5$ 和 $1$。

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   展开验证。 $(x+3)(x^2+4x-5)=x^3+4x^2-5x+3x^2+12x-15=x^3+7x^2+7x-15$，正好还原出被除式。