求 3^x = x^9 的全部实数解。

Step-by-step solution

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   用左边先把定义域限住。 对任意实数 $x$ 都有 $3^{x}>0$，所以 $x^{9}$ 也必须为正。由于 $9$ 是奇数，$x^{9}>0$ 迫使

   $x>0$

   于是只需考虑正的 $x$——这样取对数也就合法了。

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   取对数，把两边都变成乘积。 对 $x>0$：

   $x\ln3=9\ln x\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln3}{9}\approx0.122068$

   问题于是变成：曲线 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在哪里达到这条固定的水平高度？

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   先看出那个精确根。 试着把两边凑成同底的幂。因为 $27=3^{3}$，

   $27^{9}=\left(3^{3}\right)^{9}=3^{27}\ \checkmark$

   所以 $x=27$ 精确地满足方程——用整数精确运算验证过 ✓。（相比之下 $x=9$ 不行：$3^{9}=19683$，而 $9^{9}=387\,420\,489$；$x=3$ 也不行。）

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   从 $g$ 的形状数出根的个数。 求导得 $g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$，它在 $x<e$ 时为正、在 $x>e$ 时为负。所以 $g$ 单调上升到唯一的最大值 $g(e)=1/e\approx0.3679$，之后一路递减趋于 $0$。由于目标高度 $0.122068$ 低于这个最大值又大于 $0$，水平直线恰好与曲线相交两次——在 $x=e$ 的两侧各一次。已知的根 $27$ 落在右侧，因此第二个根必然落在 $(1,e)$ 内。

5. 5

   用数值方法定出第二个根。 在 $(1,e)$ 上对 $g(x)=\ln3/9$ 做二分，收敛到

   $x\approx1.1508248$

   检验：$3^{1.1508248}=3.5406498$，$1.1508248^{9}=3.5406493$ ✓，一致到 $10^{-6}$。所以这个方程有两个实数解——只报 $x=27$ 会漏掉一半答案：

   $x=27\qquad\text{和}\qquad x\approx1.15082$