把 21x³ − 49x² − 18x + 42 完全分解因式，并求出它的根。

Step-by-step solution

1. 1

   先试分组，别急着找根。 四项的三次式是两两分组分解的经典对象。从中间劈开：

   $\left(21x^{3}-49x^{2}\right)+\left(-18x+42\right).$

   试整数如 $x=2$（得 $-22$）、$x=3$（得 $114$）都不成，这正是先找根的思路在这里会卡住的原因——唯一的有理根是分数 $\tfrac73$，藏在 $p\mid42$、$q\mid21$ 给出的一大堆候选 $\pm\frac{p}{q}$ 里，很容易被漏掉。

2. 2

   分别分解两组。 第一组提出 $7x^{2}$，第二组提出 $-6$：

   $21x^{3}-49x^{2}=7x^{2}(3x-7),\qquad -18x+42=-6(3x-7).$

   符号在这里很关键：提出 $-6$ 而不是 $6$，才能让第二个括号是 $3x-7$ 而不是 $7-3x$。

3. 3

   把公共的二项式提出来。 现在两块都含有因式 $(3x-7)$：

   $7x^{2}(3x-7)-6(3x-7)=(3x-7)\left(7x^{2}-6\right).$

   乘回去即可确认：$21x^{3}-49x^{2}-18x+42$ ✓。

4. 4

   看看这个二次式还能不能再分。 在有理数范围内 $7x^{2}-6$ 不可约，因为 $\tfrac67$ 不是有理数的平方。而在实数范围内它是可以拆开的：

   $7x^{2}-6=7\left(x-\sqrt{\tfrac67}\right)\left(x+\sqrt{\tfrac67}\right).$

   所以有理数范围内的完全分解就是 $(3x-7)(7x^{2}-6)$。

5. 5

   读出根并验算。 令每个因式等于零：

   $x=\frac{7}{3}\approx2.3333,\qquad x=\pm\sqrt{\frac67}=\pm\frac{\sqrt{42}}{7}\approx\pm0.92582.$

   把它们分别代回三次式，结果在 $10^{-14}$ 的误差内都是 $0$ ✓；韦达定理也吻合：三根之和为 $\tfrac73+0=\tfrac73=\tfrac{49}{21}$ ✓。