解方程求 x：x/(10 + x) = 0.97。

Step-by-step solution

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   把方程读成「占总量的份额」。 $x$ 在总量 $10+x$ 中必须占 $97\%$，所以固定的那 $10$ 就对应剩下的 $3\%$。这样立刻能估出总量约为 $\tfrac{10}{0.03}\approx333$，而 $x$ 大约是 $323$。

2. 2

   化成分数，并注意定义域。

   $0.97=\frac{97}{100}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x}{10+x}=\frac{97}{100},\qquad x\neq-10$

   因为 $97$ 是质数，这个分数已经是最简形式——不像 $0.98=\tfrac{49}{50}$ 那样还能约。

3. 3

   交叉相乘。

   $100x=97(10+x)$

4. 4

   展开并合并。

   $100x=970+97x\qquad\Longrightarrow\qquad 3x=970$

   系数 $3=100-97$ 恰好就是差的那三个百分点，以百分之一为单位表示出来。

5. 5

   做除法，并注意小数是循环的。

   $x=\frac{970}{3}=323.\overline{3}\approx323.33$

   因为 $3$ 除不尽 $970$，又不是由 $2$ 和 $5$ 组成的，所以写成精确分数更合适。这正是它与 $0.98$ 那种情形的结构性差别：那里 $100-98=2$ 能整除，结果是整数 $490$。

6. 6

   用精确运算验算。

   $\frac{970/3}{10+970/3}=\frac{970/3}{1000/3}=\frac{970}{1000}=0.97\ \checkmark$

   而封闭公式 $x=\dfrac{ap}{1-p}=\dfrac{10(0.97)}{0.03}=\dfrac{9.7}{0.03}=323.\overline{3}$ 也吻合 ✓。