已知 x/y = 2/3，求 (3x² − 2xy + 5y²)/(5x² − 3xy + 3y²) 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意到这个式子是二次齐次的。 分子和分母的每一项，在 $x$、$y$ 上的总次数都是 $2$。这意味着它的值只取决于比值 $x:y$，与 $x$、$y$ 各自有多大无关——这正是只给一个比值就足够的原因。

2. 2

   把比值参数化。 由 $\dfrac xy=\dfrac23$，可以写成

   $x=2k,\qquad y=3k\qquad(k\neq 0)$

   直接取 $x=2$、$y=3$ 也一样能做；引入参数 $k$ 只是为了让约分过程看得更清楚。

3. 3

   算分子。

   $3(2k)^{2}-2(2k)(3k)+5(3k)^{2}=12k^{2}-12k^{2}+45k^{2}=45k^{2}$

4. 4

   算分母。

   $5(2k)^{2}-3(2k)(3k)+3(3k)^{2}=20k^{2}-18k^{2}+27k^{2}=29k^{2}$

5. 5

   相除约分。

   $\frac{45k^{2}}{29k^{2}}=\frac{45}{29}$

   $\boxed{\dfrac{45}{29}}$

6. 6

   再换一组同比的数验一遍。 取 $x=4$、$y=6$（仍然是 $2:3$）：分子 $=48-48+180=180$，分母 $=80-72+108=116$，而 $\tfrac{180}{116}=\tfrac{45}{29}$ ✓——这确认了结果确实只跟比值有关。

7. 7

   另一条路：分子分母同除以 y²。 记 $r=\tfrac xy=\tfrac23$，原式等于 $\dfrac{3r^{2}-2r+5}{5r^{2}-3r+3}=\dfrac{\tfrac{12}{9}-\tfrac43+5}{\tfrac{20}{9}-2+3}=\dfrac{5}{\tfrac{29}{9}}=\dfrac{45}{29}$——同样的值，路径更短。