解方程 (x + 1)² + (x − 1)² = (x + 1)² + (1 − x)²。

Step-by-step solution

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   先别急着展开，找一找两边相同的部分。 $(x+1)^2$ 在等号两边都出现，可以立刻约掉。剩下的问题简单得多：$(x-1)^2$ 和 $(1-x)^2$ 相等吗？

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   用「互为相反数的两个数平方相同」这一点。 $1-x=-(x-1)$，而平方会把负号吃掉：$(1-x)^2=\left(-(x-1)\right)^2=(-1)^2(x-1)^2=(x-1)^2$。所以剩下的两项对每一个 $x$ 都相等。

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   展开来再确认一遍。 $(x-1)^2=x^2-2x+1$，$(1-x)^2=1-2x+x^2$；逐项对照完全一致，这就是同一个结论的代数版本。

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   得出「它是恒等式」的结论。 约完之后方程变成 $0=0$——一个不含未知数、而且恰好为真的陈述。这正是恒等式的标志：它对未知数的每一个取值都成立。

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   写出解集。 由于没有任何 $x$ 被排除在外——式子里既没有分母，也没有根号来限制定义域——解集就是全体实数，即 $x\in\mathbb{R}$。

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   代两个数验一验。 取 $x=3$，两边都等于 $16+4=20$；取 $x=-7$，两边都等于 $36+64=100$。在随便挑的测试点上两边都相等，这符合恒等式的特征，而不像只有零星几个根的普通方程。