函数 f(x) = |x − 4| 向上平移 6 个单位、向右平移 2 个单位。写出平移后新函数的解析式。

Step-by-step solution

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   先看清出发位置。 绝对值符号外面没有常数，所以 $f(x)=|x-4|$ 的顶点是

   $(4,0)$

   它正好落在 $x$ 轴上，两条边分别以 $-1$ 和 $+1$ 的斜率向上张开。

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   向右平移 2 个单位。 把函数里的 $x$ 换成 $x-2$：

   $\left|(x-2)-4\right|=|x-6|$

   两次相减累加成一次平移 $6$，所以拐点现在位于 $x=6$。

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   向上平移 6 个单位。 给输出值加上 $6$：

   $|x-6|+6$

   因为原函数没有竖直方向的常数项，这一次平移就直接提供了那个 $+6$。

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   写出最终解析式和顶点。

   $f(x)=|x-6|+6,\qquad \text{顶点 }(6,6)$

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   验证，并留意一个副产品。 原来的点 $(4,0)$ 应该落到 $(6,6)$，而 $|6-6|+6=6\;\checkmark$；原来的点 $(0,4)$ 应该落到 $(2,10)$，而 $|2-6|+6=4+6=10\;\checkmark$。由于最小值现在是 $6>0$，平移后的图象再也碰不到 $x$ 轴，而原图象恰好与它相切于一点——这是纯粹由竖直平移带来的一个实质变化。