计算 (8x³ - 6x² - 5x + 3) 除以 (2x - 5) 的商。

Step-by-step solution

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   面对首项系数不是 1 的除式，先把格式摆好。 由于 $2x-5$ 的首项是 $2x$，商的每一项都要用当前的最高次项除以 $2x$ 得到。被除式四个次数一个不缺，所以不需要补零占位。

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   第一步。 $\dfrac{8x^3}{2x}=4x^2$。乘回去：$4x^2(2x-5)=8x^3-20x^2$。相减：$-6x^2-(-20x^2)=14x^2$，再把 $-5x$ 落下来，得到 $14x^2-5x$。

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   第二步。 $\dfrac{14x^2}{2x}=7x$。乘回去：$7x(2x-5)=14x^2-35x$。相减：$-5x-(-35x)=30x$，再把 $+3$ 落下来，得到 $30x+3$。

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   第三步。 $\dfrac{30x}{2x}=15$。乘回去：$15(2x-5)=30x-75$。相减：$3-(-75)=78$，这是个常数，所以除法到此结束。

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   写出结果。 $\dfrac{8x^3-6x^2-5x+3}{2x-5}=4x^2+7x+15+\dfrac{78}{2x-5}$；余数 $78\neq 0$，说明 $2x-5$ 不是被除式的因式。

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   两种方法各验一次。 乘回去：$(2x-5)(4x^2+7x+15)+78=8x^3+14x^2+30x-20x^2-35x-75+78=8x^3-6x^2-5x+3$。另一种是把除式的根 $x=\tfrac52$ 代入被除式：$8\cdot\tfrac{125}{8}-6\cdot\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+3=125-37.5-12.5+3=78$，与余数一致。