解三次方程 x³ + 3x² + 2x − 504 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先对含变量的部分因式分解，看清结构。 前三项都含公因式 $x$：

   $x^3+3x^2+2x=x\left(x^2+3x+2\right)=x(x+1)(x+2)$

   于是方程就是

   $x(x+1)(x+2)=504$

   也就是说：找三个连续整数，使它们的乘积等于 $504$。 看出这个结构，一道三次方程就变成了一行试算。

2. 2

   在立方根附近搜索。 三个靠近 $n$ 的连续整数，乘积大约是 $n^3$，而 $\sqrt[3]{504}\approx7.96$，所以试一下以 $8$ 为中心的那一组：

   $7\times8\times9=504\ \checkmark$

   于是 $x=7$ 是一个根。直接代入确认：$343+147+14-504=0$ ✓。

3. 3

   用综合除法降次。 按系数 $1,\ 3,\ 2,\ -504$ 除以 $x-7$：

   $1\quad\to\quad 3+7=10\quad\to\quad 2+70=72\quad\to\quad -504+504=0$

   余数为零，验证了这个根，商是 $x^2+10x+72$：

   $x^3+3x^2+2x-504=(x-7)\left(x^2+10x+72\right)$

4. 4

   解那个二次因式。 它的判别式是

   $10^2-4(1)(72)=100-288=-188<0$

   所以剩下两个根是复数——这意味着 $x=7$ 是唯一的实数解。

5. 5

   把复数根化简。 由于 $\sqrt{-188}=i\sqrt{4\cdot47}=2i\sqrt{47}$：

   $x=\frac{-10\pm2i\sqrt{47}}{2}=-5\pm i\sqrt{47}$

6. 6

   验算三个根。 代入 $x=7$ 恰好得到 $0$ ✓。代入 $-5\pm i\sqrt{47}$，在复数运算下结果为 $0$，误差不超过 $1.1\times10^{-14}$ ✓。再做一个结构性检查：三根之和为 $7+(-5)+(-5)=-3=-b/a$ ✓，三根之积为 $7\left(25+47\right)=504=-d/a$ ✓。