解四次方程 0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   动手找根之前，先估出根可能落在哪里。 柯西界给出：每个根都满足 $|m|\le 1+\max|a_k|/|a_4|=1+17.026/0.0395\approx 432$。这个界很松，但那个极小的首项系数正是警示信号：整式同除以 $0.0395$ 得到 $m^4-26.927m^3+206.16m^2-299.51m-431.04$，可见诸根之和约为 $26.9$，而且分布在一个很宽的范围上。

2. 2

   在网格上扫描符号变化。 从 $-3$ 到 $60$ 以 $0.1$ 为步长计算 $f(m)$，在 $(-0.9,-0.8)$、$(3.3,3.4)$、$(11.1,11.2)$ 和 $(13.3,13.4)$ 上各出现一次变号。四次方程出现四次变号，就意味着四个实根 —— 已经没有位置留给一对共轭复根了，因为复根总是成对出现，而根一共只有四个。

3. 3

   对每个区间二分到足够精度。

   $m_1=-0.86460205,\quad m_2=3.37179569,\quad m_3=11.10472698,\quad m_4=13.31466166$

   每个根都细化到残差 $|f(m)|$ 小于 $10^{-12}$ 为止。

4. 4

   用韦达定理交叉核对。 对 $a_4m^4+\cdots+a_0$，诸根之和应为 $-a_3/a_4=1.0636/0.0395=26.92658228$，诸根之积应为 $a_0/a_4=-17.026/0.0395=-431.03797468$。算出的四个根，和为 $26.92658228$ ✓，积为 $-431.03797468$ ✓ —— 都精确到十位有效数字，所以既没有混进假根，也没有漏掉真根。

5. 5

   把代入检验通不过的值剔掉。 有一个流传较广的答案给出 $m\approx-0.9365$ 和 $m\approx3.3065$，外加一对复根 $12.2798\pm19.2988i$。代进去看：$f(-0.9365)=+2.0996$，$f(3.3065)=-0.8396$，都不等于零；而那对所谓的复根让根之和凑到 $26.93$ 也纯属巧合。正确答案是四个实根。