解不等式 x² + x − 1 大于或等于 0。

Step-by-step solution

1. 1

   用求根公式定出两根。 取 $a=1$，$b=1$，$c=-1$，

   $\Delta=1^2-4(1)(-1)=1+4=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$

   没有哪一对整数积为 $-1$ 且和为 $1$，所以十字相乘从一开始就走不通。

2. 2

   认一认这两个数。 $\frac{-1+\sqrt5}{2}=0.6180340$，$\frac{-1-\sqrt5}{2}=-1.6180340$ —— 它们正是黄金分割比的共轭数：黄金分割比满足 $\varphi^2=\varphi+1$，把其中的 φ 换成 −x，这个关系式恰好就变成 $x^2+x-1=0$。两数之积为 $-1$、之和为 $-1$，与 $c/a$ 和 $-b/a$ 吻合。

3. 3

   用开口方向定区域。 二次项系数为正，抛物线开口向上，所以表达式在两根之间的区间之外才 $\ge 0$：

   $x\le\frac{-1-\sqrt5}{2}\qquad\text{或}\qquad x\ge\frac{-1+\sqrt5}{2}$

4. 4

   把端点算进来。 不等号是不严格的（$\ge$），而在每个根处表达式恰好等于 $0$，所以两个边界值都属于解集 —— 用闭区间，不是开区间。

5. 5

   取几个点验证。 当 $x=-2$：$4-2-1=1\ge 0$ ✓。当 $x=0$：得 $-1$，不成立，正好把中间那段排除掉 ✓。当 $x=1$：$1+1-1=1\ge 0$ ✓。所以解集是

   $\left(-\infty,\tfrac{-1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[\tfrac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)$