求证：x = 1 是方程 (2x² − 4x + 3)(x² − 2x + 2) = 1 的根，且该方程没有其它根。

Step-by-step solution

1. 1

   先代入验证题目给出的根。 当 $x=1$ 时：

   $2(1)-4(1)+3=1,\qquad 1-2(1)+2=1$

   所以左边是 $1\cdot 1=1$ ✓。存在性到此解决；真正要花功夫的是唯一性。

2. 2

   对第一个因式配方。 把每个因式从下方界住是关键思路，因为两个都不小于 $1$ 的量相乘，只有在两者都恰好等于 $1$ 时乘积才可能等于 $1$：

   $2x^{2}-4x+3=2\left(x^{2}-2x\right)+3=2\left[(x-1)^{2}-1\right]+3=2(x-1)^{2}+1$

3. 3

   对第二个因式配方。

   $x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$

   现在两个因式都明显是「非负的平方再加 $1$」这种形式。

4. 4

   给每个因式定下界。 对任意实数 $x$ 都有 $(x-1)^{2}\ge 0$，所以

   $2x^{2}-4x+3\ge 1\qquad\text{且}\qquad x^{2}-2x+2\ge 1$

   而且两处取等号都只发生在 $x=1$。

5. 5

   用乘积的论证收尾。 两个都 $\ge 1$ 的数相乘，结果 $\ge 1$，且乘积等于 $1$ 当且仅当两个因式都等于 $1$。于是

   $\left[2(x-1)^{2}+1\right]\left[(x-1)^{2}+1\right]=1\ \Longleftrightarrow\ (x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x=1$

   $\boxed{x=1\text{ 是唯一实根}}$

6. 6

   展开来交叉检验。 令 $u=(x-1)^{2}\ge 0$，方程变成 $(2u+1)(u+1)=1$，即 $2u^{2}+3u=0$，即 $u(2u+3)=0$。它的根是 $u=0$ 和 $u=-\tfrac32$；后者对一个平方来说不可能，只剩 $u=0$，即 $x=1$ ✓ —— 与前面代数推理得到的结论一致。