解方程 12/((x + 1)(x + 5)) + 15/((x + 2)(x + 4)) = 2。

Step-by-step solution

1. 1

   把每个分母展开，找出共有的那个二次式。 注意两组因式的和相同，$1+5=2+4=6$：

   $(x+1)(x+5)=x^{2}+6x+5,\qquad (x+2)(x+4)=x^{2}+6x+8$

   于是令

   $u=x^{2}+6x$

   两个分母就都成了 $u$ 的一次式。若直接去分母，得到的会是一个四次方程。

2. 2

   用 u 改写方程。

   $\frac{12}{u+5}+\frac{15}{u+8}=2$

3. 3

   去分母并整理。

   $12(u+8)+15(u+5)=2(u+5)(u+8)$

   $12u+96+15u+75=2\left(u^{2}+13u+40\right)$

   $27u+171=2u^{2}+26u+80\quad\Longrightarrow\quad 2u^{2}-u-91=0$

4. 4

   解出 u。

   $u=\frac{1\pm\sqrt{1+728}}{4}=\frac{1\pm 27}{4}\quad\Longrightarrow\quad u=7\ \text{或}\ u=-\frac{13}{2}$

5. 5

   把每个 u 值换回 x。

   $u=7$：$x^{2}+6x-7=0\Rightarrow(x+7)(x-1)=0\Rightarrow x=-7$ 或 $x=1$。

   $u=-\tfrac{13}{2}$：$2x^{2}+12x+13=0\Rightarrow x=\dfrac{-12\pm\sqrt{144-104}}{4}=\dfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}$，由于 $144-104=40>0$，两根都是实数。

   $\boxed{x=1,\ -7,\ \frac{-6+\sqrt{10}}{2},\ \frac{-6-\sqrt{10}}{2}}$

6. 6

   核对定义域，并验算一个根。 需要排除的值是 $x=-1,-2,-4,-5$；四个根都不在其中（$\tfrac{-6\pm\sqrt{10}}{2}\approx -1.42$ 与 $-4.58$，离得都够远）。以 $x=1$ 验算：$\tfrac{12}{2\cdot 6}+\tfrac{15}{3\cdot 5}=1+1=2$ ✓。