解不等式 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 1。

Step-by-step solution

1. 1

   千万不要两边乘 1 − x。 它的符号在 $x=1$ 处翻转，两边同乘会在这个点的一侧悄悄把不等号反向。正确的第一步是把式子整理成「一个分式与零比较」。

2. 2

   减去 1，再按公分母合并。

   $\frac{2x-1}{1-x}-\frac{1-x}{1-x}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2x-1-(1-x)}{1-x}\ge0$

   分子要小心展开 —— 负号要作用到两项上：

   $2x-1-1+x=3x-2$

   于是不等式变成 $\dfrac{3x-2}{1-x}\ge0$。

3. 3

   求新分式的临界点。

   $3x-2=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\ (\text{排除})$

   注意减掉那个 $1$ 之后，分子的零点从 $\tfrac12$（也就是本题 $\ge0$ 那个版本里的零点）挪到了 $\tfrac23$。

4. 4

   在三个区间上取点检验。 当 $x=0$：$\dfrac{-2}{1}=-2<0$。当 $x=\tfrac34$：$\dfrac{9/4-2}{1/4}=\dfrac{1/4}{1/4}=1>0$。当 $x=2$：$\dfrac{4}{-1}=-4<0$。所以只有 $\left(\tfrac23,1\right)$ 符合。

5. 5

   处理两个端点。 在 $x=\tfrac23$ 处变形后的分式恰好等于 $0$，非严格的 $\ge$ 把它包含在内 —— 等价地说，原分式在那里正好等于 $1$。在 $x=1$ 处表达式无意义，所以必须排除。

6. 6

   写出答案并验证。

   $\frac23\le x<1,\qquad\left[\frac23,\ 1\right)$

   在 $[-3,3]$ 上取 $18001$ 个有理点（跳过 $x=1$）用精确分数逐点检验，没有一处不符；而在 $x=\tfrac23$ 处原式左边正好等于 $1$ ✓。