解三次方程 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先排除有理根。 候选根形如 $\pm\tfrac{d}{e}$，其中 $d \mid 300$、$e \mid 2$。把比较像样的几个负数逐个试过去：$f(-3) = 3$、$f(-4) = -20$、$f(-5) = -25$、$f(-6) = -24$、$f(-10) = -200$、$f(-15) = -1725$。没有一个为零，所以因式分解和综合除法这两条路都是死胡同——不过 $-3$ 与 $-4$ 之间的变号确实告诉我们，有一个实根就落在这段区间里。

2. 2

   把方程化成首一形式并降次。 两边除以 $2$ 得 $s^3 + \tfrac{33}{2}s^2 + 90s + 150 = 0$。作代换 $s = y - \tfrac{a}{3}$，其中 $a = \tfrac{33}{2}$，即 $s = y - \tfrac{11}{2}$，可以把平方项消掉。用 $p = b - \tfrac{a^2}{3}$ 与 $q = \tfrac{2a^3}{27} - \tfrac{ab}{3} + c$：

   $p = 90 - \frac{1089}{12} = -\frac{3}{4}, \qquad q = \frac{1331}{4} - 345 = -\frac{49}{4}$

   于是降次后的三次方程是 $y^3 - \tfrac{3}{4}y - \tfrac{49}{4} = 0$。

3. 3

   算判别式，看看究竟有几个实根。

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \frac{2401}{64} - \frac{1}{64} = \frac{2400}{64} = \frac{75}{2} = 37.5$

   由于 $\Delta > 0$，方程恰有一个实根和一对共轭复根。这正是卡尔达诺根式公式可以直接用实数立方根算出来的情形——不必绕道三角函数。

4. 4

   套用卡尔达诺公式。 由 $-\tfrac{q}{2} = \tfrac{49}{8} = 6.125$ 和 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{37.5} = 6.123724$：

   $y = \sqrt[3]{6.125 + 6.123724} + \sqrt[3]{6.125 - 6.123724} = \sqrt[3]{12.248724} + \sqrt[3]{0.001276}$

   两个被开方数的量级差得离谱——第二个只比零大一丁点，因为 $\Delta$ 比 $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2$ 只小了一丁点——于是得到

   $y = 2.305138 + 0.108453 = 2.413591$

5. 5

   换回 s，再把那对复根找出来。 由 $s = y - \tfrac{11}{2}$，实根是

   $s_1 = 2.413591 - 5.5 = -3.086409$

   用 $(s - s_1)$ 去除 $2s^3 + 33s^2 + 180s + 300$，余下 $2s^2 + 26.827182s + 97.200344$，它的根为 $s = -6.706796 \pm 1.902385\,i$。

6. 6

   用韦达定理检验。 三根之和必须等于 $-\tfrac{33}{2} = -16.5$：$-3.086409 + 2(-6.706796) = -16.500001$。三根之积必须等于 $-\tfrac{300}{2} = -150$：$(-3.086409)\left(6.706796^2 + 1.902385^2\right) = (-3.086409)(48.60018) = -150.00$。两项都对上了。（常见但错误的答案会把虚部写成 $\pm 0.484891$；那一对根在乘积检验上会错得很离谱。）