解方程组 3x + 2y = 12 与 x - y = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   挑变形代价最小的那个方程。 第二个方程里 $x$ 的系数是 $1$，从它里面分离出一个变量不会带出分数：

   $x - y = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = y + 1$

   要是选另一个方程，一上手就得除以 $3$，然后整道题都要背着三分之几算下去。

2. 2

   代入第一个方程。 把 $x$ 换成 $y + 1$，双变量问题就变成了单变量问题：

   $3(y + 1) + 2y = 12$

3. 3

   去括号并合并同类项。

   $3y + 3 + 2y = 12$

   $5y + 3 = 12$

   $5y = 9 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{9}{5}$

   结果不是整数，这很正常：$5$ 除不尽 $9$，而题目也从没承诺解一定是整数。

4. 4

   回代求出 x。 用 $x = y + 1$，通分到分母 $5$：

   $x = \frac{9}{5} + 1 = \frac{9}{5} + \frac{5}{5} = \frac{14}{5}$

5. 5

   代回两个原方程验算。 解必须同时满足整个方程组，而不是只满足你最后动过的那一个：

   $3\left(\frac{14}{5}\right) + 2\left(\frac{9}{5}\right) = \frac{42}{5} + \frac{18}{5} = \frac{60}{5} = 12 \ \checkmark$

   $\frac{14}{5} - \frac{9}{5} = \frac{5}{5} = 1 \ \checkmark$

   所以这两条直线交于唯一一点 $\left(\tfrac{14}{5}, \tfrac95\right) = (2.8,\, 1.8)$。