解方程 x² + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0。

Step-by-step solution

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   先找出绝对值内部变号的位置。 $|x-3|$ 在 $x=3$ 两侧的表现不一样，所以实数轴被分成两支：$x\ge 3$ 和 $x<3$。在每一支上，绝对值都可以换成一个普通的一次式，于是一个难解的方程就变成了两个普通的二次方程。

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   第一支：$x\ge 3$，此时 $|x-3|=x-3$。 代入并合并同类项：

   $x^2+4(x-3)-7x+11=x^2+4x-12-7x+11=x^2-3x-1=0$

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

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   只保留真正满足 $x\ge 3$ 的那个根。 数值上 $\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx 3.303\ \ge 3$（保留），而 $\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx-0.303<3$（舍去）。被舍去的那个值满足的是改写之后的方程，而不是原方程，因为在那一侧 $|x-3|$ 并不等于 $x-3$。

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   第二支：$x<3$，此时 $|x-3|=3-x$。

   $x^2+4(3-x)-7x+11=x^2-4x+12-7x+11=x^2-11x+23=0$

   $x=\frac{11\pm\sqrt{121-92}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{29}}{2}$

   这里 $\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx 2.807<3$（保留），$\frac{11+\sqrt{29}}{2}\approx 8.193\ \ge 3$（舍去）。

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   把两个保留下来的根代回原方程验证。 对 $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.30278$：$x^2\approx10.9083$，$4|x-3|\approx1.2111$，$-7x\approx-23.1194$，合计 $10.9083+1.2111-23.1194+11\approx 0$。对 $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.80742$：$x^2\approx7.8816$，$4|x-3|\approx0.7703$，$-7x\approx-19.6519$，合计 $\approx 0$。两个都对。

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   给出两个根。 这个方程恰好有两个解：

   $x=\frac{11-\sqrt{29}}{2}\approx2.807\qquad\text{和}\qquad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\approx3.303$

   分界点 $x=3$ 的两侧各有一个根——这提醒我们，分类讨论时每一支都可能贡献一个根，而且常常确实如此。