分解 x² − x + 1：能在实数范围内分解就在实数范围内分解，否则在复数范围内分解。

Step-by-step solution

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   先算判别式，把实数情形定下来。 取 $a=1$、$b=-1$、$c=1$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4(1)(1)=1-4=-3$

   因为 $\Delta<0$，这个二次式没有实根，所以它在 $\mathbb{R}$ 上不可约——不存在两个实系数一次因式，去找 $1$ 的整数因数对也是白费力气。

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   用求根公式求出复数根。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   两个根互为共轭复数——对实系数多项式来说本就该如此。

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   写出在 $\mathbb{C}$ 上的分解式。 首项系数为 $1$ 的二次式等于各个 $(x-\text{根})$ 的乘积：

   $x^{2}-x+1=\left(x-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)$

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   乘回去验证。 乘积等于 $x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}$。两根之和是 $\dfrac{1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{1-i\sqrt3}{2}=1$ ✓，两根之积是 $\dfrac{1^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1$ ✓，正好给出 $x^{2}-x+1$。把任一个根代回去，余量都小于 $10^{-14}$ ✓。

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   顺带说说实数形式和背后的恒等式。 配方得到实数形式 $x^{2}-x+1=\left(x-\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$，可见最小值是 $\tfrac34>0$——这独立地证明了它永远不等于零。这两个根还是六次单位根中的本原根，对应着恒等式 $x^{2}-x+1=\dfrac{x^{3}+1}{x+1}$。