把 x³ + x² + 2x + 1 因式分解，或说明它在有理数上无法分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把候选名单缩短。 首项系数是 $1$，常数项是 $1$，所以任何有理根 $p/q$ 都满足 $p\mid 1$ 且 $q\mid 1$。只剩两个候选活了下来：

   $x=1\quad\text{与}\quad x=-1$

2. 2

   两个都试一遍。 记 $f(x)=x^3+x^2+2x+1$：

   $f(1)=1+1+2+1=5\neq 0$
   $f(-1)=-1+1-2+1=-1\neq 0$

   两个都不是根，所以 $f$ 没有有理系数的一次因式。

3. 3

   说明对三次式而言这就足够了。 三次多项式在一个域上的任何分解都必须含一个一次因式（把 $3$ 拆开只有 $1+2$ 和 $1+1+1$ 两种方式）。既然所有一次有理因式都被排除，$f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上就是不可约的。

4. 4

   再看看为什么分组分解也不行。 最自然的配对给出

   $x^2(x+1)+1(2x+1)$

   而括号 $(x+1)$ 与 $(2x+1)$ 并不相同，所以提不出公共的二项式。分组分解只有在两个括号一致时才奏效，比如 $x^3+x^2-x-1$ 就属于那种情形。

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   为完整起见，把唯一的那个实根数值定位一下。 $f(-0.5)=0.125$，$f(-0.6)=-0.056$，所以实根落在 $x\approx-0.5698$ 附近；另外两个根是一对共轭复根。它是无理数，因此给不出有理因式 $\checkmark$。