解方程 √(x² − 3) = x − 1。

Step-by-step solution

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   先给右边加上符号条件。 平方根的取值永不为负，所以任何解都必须满足 $x-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge 1.$ 这个条件正是后面用来区分真解和增根的依据。

2. 2

   两边平方。 $x^2-3 = (x-1)^2 = x^2-2x+1.$

3. 3

   把二次项消掉。 $x^2$ 在两边都出现，直接抵消，剩下一个一次方程：$-3 = -2x+1.$ 只要首项像这样对得上，平方后的方程就会降一次。

4. 4

   解出 x。 $-4 = -2x \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$

5. 5

   对照两个要求逐一检验。 $x=2$ 满足 $x\ge1$，被开方式 $2^2-3 = 1 \ge 0$ 也成立。代回原方程：$\sqrt{4-3} = \sqrt1 = 1$，而 $2-1 = 1$。两边相等，所以 $x=2$ 是真解。

6. 6

   说明这一步检验为什么不能省。 平方会把 $\sqrt{A} = B$ 的解和 $\sqrt{A} = -B$ 的解混到一起；这里只出现了一个候选值，而且它通过了检验，但在同类题 $\sqrt{x^2-6x+25} = 3-x$ 里，同样的做法最后得到的却是矛盾。