在 x > 0 的范围内解不等式 x^x > 1。

Step-by-step solution

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   先把定义域定下来。 要让 $x^{x}$ 按通常的方式定义为实数，取 $x>0$：因为 $x^{x}=e^{x\ln x}$ 要求底数为正。（负底数只在分母为奇数的一些孤立有理点上才有实数值，所以标准的理解就限制在 $x>0$。）

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   取对数 —— 因为两边都是正数，这一步合法。 自然对数严格递增，所以它保持不等号方向：

   $x^{x}>1\iff\ln\!\left(x^{x}\right)>\ln1\iff x\ln x>0$

   这里用了 $\ln\left(x^{x}\right)=x\ln x$ 和 $\ln1=0$。指数不等式就此变成了一个「乘积符号」的问题。

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   分析这个乘积的符号。 在定义域 $x>0$ 上，第一个因子 $x$ 恒为正，所以 $x\ln x$ 的符号完全由 $\ln x$ 决定：

   $x\ln x>0\iff\ln x>0\iff x>1$

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   写出解集。

   $x>1,\qquad\text{即}\qquad(1,\infty)$

   在 $x=1$ 处值为 $1^{1}=1$，取到等号，所以这个端点要排除 ✓。

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   看看 1 以下发生了什么。 当 $0<x<1$ 时 $\ln x<0$，所以 $x\ln x<0$，从而 $x^{x}<1$。例如 $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707<1$ ✓，而 $1.5^{1.5}\approx1.837>1$ ✓。在 $(0,4)$ 上取 $399$ 个样本点直接求值，都印证了上面的等价关系 ✓。

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   顺带说一个 1 以下的有趣现象。 虽然在 $(0,1)$ 上 $x^{x}<1$，但它在那里并不单调：它在 $x=1/e\approx0.3679$ 处下探到最小值 $e^{-1/e}\approx0.6922$，随后当 $x\to0^{+}$ 时又回升趋向 $1$。所以不等式在整个 $(0,1]$ 上都不成立，但并不是以一种简单递减的方式不成立。