求方程 x²((8.9 − x)² − 64) = (71 × 8.9 − 79x)² 的全部实数解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常数算清，再展开两边。 首先 $71\cdot 8.9=631.9$。左边，

   $(8.9-x)^2-64=x^2-17.8x+79.21-64=x^2-17.8x+15.21$

   $\text{左边}=x^2(x^2-17.8x+15.21)=x^4-17.8x^3+15.21x^2$

   右边，注意 $79^2=6241$、$2(631.9)(79)=99840.2$、$631.9^2=399297.61$：

   $\text{右边}=6241x^2-99840.2x+399297.61$

2. 2

   把所有项移到同一边。 用左边减去右边：

   $x^4-17.8x^3+(15.21-6241)x^2+99840.2x-399297.61=0$

   $x^4-17.8x^3-6225.79x^2+99840.2x-399297.61=0$

   把它记作 $f(x)$。注意这里的平方是题目本身就给好的——题面就是平方后的形式——所以这个四次方程的每一个实根都是真解，没有需要舍去的增根。

3. 3

   靠变号把实根框住。 在几个点上算一算 $f$：

   $f(-90)\approx 1.877\times 10^{7},\quad f(-80)\approx 1.842\times 10^{6},\quad f(-70)\approx -7.779\times 10^{6}$

   $f(0)=-399297.61,\quad f(80)\approx -410738,\quad f(81)\approx 427422$

   在 $-80$ 与 $-70$ 之间变了一次号，在 $80$ 与 $81$ 之间又变了一次。四次方程最多只有四个实根，且首项系数为正，所以这两个区间里各恰好含一个根。

4. 4

   把两个根都算精确。 在各自的区间里用牛顿法迭代，分别收敛到

   $x_1\approx -78.5149849012,\qquad x_2\approx 80.4985052279$

   代回 $x^2((8.9-x)^2-64)-(631.9-79x)^2$，残差的绝对值都小于 $10^{-7}$，可见两个都是真根。

5. 5

   证明再没有别的实根——这才是关键的一步。 在整个区间 $[0,80]$ 上，这个四次式从未变正：它在这一段里的最大值约为 $-3992$，出现在 $x\approx 7.909$ 附近。既然 $f<0$ 贯穿整段，就不可能有根藏在里面。当 $x<-78.51$ 和 $x>80.50$ 时四次式的绝对值一路增大并保持为正，而在 $(-78.51,0)$ 上它始终为负。所以实根恰好有两个；剩下两个是一对共轭复根 $7.90824\pm 0.79772i$。

6. 6

   当心那个看着很像样的「四个实根」答案。 流传较广的一份解答给出 $x\approx-86.19,\ 6.9982,\ 8.9387,\ 88.055$。直接检验中间那两个：$f(6.9982)\approx -9205$，$f(8.9387)\approx -10628$——离零都差得远，正如 $[0,80]$ 上那个上界所预言的。凡是看到有人说某个四次方程有四个实根，至少把其中一个代回去算一遍；用 $f$ 在一整段区间上的符号去反驳，是最省力的办法。