解方程组 x₁ − 3x₂ + 4x₃ = −4，3x₁ − 7x₂ + 7x₃ = −8，−4x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 4。

Step-by-step solution

1. 1

   挑一个不会带出分数的主元。 第一个方程里 $x_1$ 的系数本来就是 $1$，所以就用它去把另外两式的 $x_1$ 消掉。这里换任何别的主元，都会立刻冒出三分之几或四分之几。

2. 2

   从第二个方程里消掉 x1。 用方程 2 减去 $3\times$（方程 1）：

   $(3x_1-7x_2+7x_3)-3(x_1-3x_2+4x_3)=-8-3(-4)$
   $2x_2-5x_3=4.$

3. 3

   从第三个方程里消掉 x1。 用方程 3 加上 $4\times$（方程 1）：

   $(-4x_1+6x_2+2x_3)+4(x_1-3x_2+4x_3)=4+4(-4)$
   $-6x_2+18x_3=-12\quad\Longrightarrow\quad x_2-3x_3=2.$

4. 4

   解降阶后的二元方程组。 由 $x_2=2+3x_3$ 代入 $2x_2-5x_3=4$：

   $2(2+3x_3)-5x_3=4\ \Longrightarrow\ 4+x_3=4\ \Longrightarrow\ x_3=0,$

   于是 $x_2=2$。

5. 5

   回代求 x1。 用方程 1：

   $x_1=-4+3x_2-4x_3=-4+6-0=2.$

6. 6

   代回三个原方程逐一验算。 $2-6+0=-4$ ✓；$6-14+0=-8$ ✓；$-8+12+0=4$ ✓。系数行列式等于 $6\neq 0$，所以 $(x_1,x_2,x_3)=(2,2,0)$ 是唯一解。