解三次方程 x³ + 2x² + 7x + 4 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有有理数候选都试一遍。 由有理根定理，可能的根只有 $4$ 的各个约数：

   $f(1) = 14, \quad f(-1) = -2, \quad f(2) = 34, \quad f(-2) = -10, \quad f(4) = 128, \quad f(-4) = -56$

   没有一个为零，所以这个三次式在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，靠观察是分解不出精确因式的。

2. 2

   把唯一的实根夹住。 三次方程总有至少一个实根。由变号

   $f(-1) = -2 < 0, \qquad f(0) = 4 > 0$

   可知有一个根落在 $(-1, 0)$ 内。而且 $f'(x) = 3x^2 + 4x + 7$ 的判别式是 $16 - 84 < 0$，所以 $f' > 0$ 处处成立：$f$ 严格递增，因此实根恰好只有一个。

3. 3

   用牛顿法逼近。 从 $x_0 = -0.7$ 出发迭代 $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 7x_n + 4}{3x_n^2 + 4x_n + 7}$，很快收敛到

   $x_1 \approx -0.6535951654$

   在 40 位工作精度下，残差小于 $10^{-39}$。（常见的疏忽是停在 $-0.6954$ 这种粗略估值上；在那里 $f = -0.2369$，并不是 $0$。）

4. 4

   把这个实根除掉。 用综合除法除以 $\left(x - x_1\right)$，余数为零，剩下二次式

   $x^2 + 1.3464048346\,x + 6.1199963094 = 0$

   其中两个系数分别是 $2 + x_1$ 和 $7 + x_1(2 + x_1)$。

5. 5

   解这个二次方程，得到一对共轭复根。 它的判别式是负的：

   $\Delta = 1.3464048346^2 - 4(6.1199963094) = -22.6671792591$

   $x = \frac{-1.3464048346 \pm i\sqrt{22.6671792591}}{2} \approx -0.6732024173 \pm 2.3805030592\,i$

6. 6

   用韦达定理交叉验证。 三个根之和必须是 $-2$，三根之积必须是 $-4$：

   $-0.6535951654 + 2(-0.6732024173) = -2.0000000000 \ \checkmark$

   $(-0.6535951654)\left(0.6732024173^2 + 2.3805030592^2\right) = -4.0000000002 \ \checkmark$

   两个恒等式都严丝合缝，这就在迭代之外独立地验证了数值结果。