解方程 2(x − 1.6)² + (x − 1.5)² = 0。

Step-by-step solution

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   注意左边每一项都是非负的。 对实数 $x$，有 $(x-1.6)^2 \ge 0$ 与 $(x-1.5)^2 \ge 0$，而把第一项乘上正常数 $2$ 并不破坏这一点。所以左边是两个非负量之和。

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   用「非负数之和为零」的原理。 若干非负数之和等于 $0$，只可能每一项都等于 $0$。这里就逼出 $2(x-1.6)^2 = 0 \quad\text{且}\quad (x-1.5)^2 = 0,$ 也就是要同时满足 $x = 1.6$ 且 $x = 1.5$。

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   看出矛盾。 一个数不可能既是 $1.6$ 又是 $1.5$，所以没有任何实数 $x$ 能同时满足这两个条件。因此这个方程没有实数解。

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   展开，用代数再确认一次。 $2(x-1.6)^2 = 2x^2-6.4x+5.12$，$(x-1.5)^2 = x^2-3x+2.25$，于是方程变成 $3x^2-9.4x+7.37 = 0.$

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   检查展开式的判别式。 $\Delta = (-9.4)^2-4(3)(7.37) = 88.36-88.44 = -0.08 < 0$，这独立地确认了没有实根。裕量非常小，这恰恰说明前面那种结构性的论证比在小数上做算术更保险。

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   读出它的实际含义。 这其实就是一次最小二乘拟合的残差：$3x^2-9.4x+7.37$ 的最小值在 $x = \tfrac{9.4}{6} \approx 1.5667$ 处取到，其值为 $\tfrac{0.08}{12} \approx 0.00667 > 0$。在 $1.6$ 与 $1.5$ 之间最好的折中是 $x \approx 1.5667$，但这个和永远到不了零。