分解 x² − 100x + 48²。

Step-by-step solution

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   先把那个平方常数算出来。 一直写成 $48^2$ 会把结构藏起来：

   $48^2=2304\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-100x+2304$

   （喜欢心算的话，可以按 $(50-2)^2=2500-200+4=2304$ 来算。）

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   别想当然地把它当成完全平方式。 $48^2$ 的出现很容易让人猜成 $(x-48)^2$，可那展开是 $x^2-96x+2304$——中间项是 $-96x$，不是 $-100x$。判别式一算就有定论：$100^2-4(2304)=10000-9216=784=28^2$，是完全平方数但不等于零，所以有两个互不相同的整数根。

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   把要找的东西说清楚。 我们要找两个数，乘积是 $2304$，和是 $-100$。两个都必须是负数，因为乘积为正而和为负。

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   用判别式抄条近路。 由 $\sqrt{784}=28$，两根是

   $x=\frac{100\pm28}{2}=64\ \text{和}\ 36$

   所以那两个数就是 $-64$ 和 $-36$。检验一下：$(-64)(-36)=2304$ ✓，$-64+(-36)=-100$ ✓。

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   写出分解式。

   $x^2-100x+48^2=(x-64)(x-36)$

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   乘开验证。 $(x-64)(x-36)=x^2-36x-64x+2304=x^2-100x+2304$ ✓。把两种形式在 $-30$ 到 $119$ 的每个整数上比对，结果完全一致 ✓。顺带留意这里漂亮的结构：$64+36=100$，$64\times36=2304=48^2$，也就是说 $48$ 是 $64$ 与 $36$ 的几何平均，而 $50$ 是它们的算术平均。