解方程 5^(x+2) = 3^(5−x)，求 x。

Step-by-step solution

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   先弄清为什么非取对数不可。 底数 $5$ 和 $3$ 没有公共的幂，所以不能直接把指数令为相等。两边同取对数是标准做法 —— 取哪个底都行，因为它最终会在比值里约掉。

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   取自然对数，把指数拿下来。 用 $\ln(A^k)=k\ln A$：

   $(x+2)\ln5=(5-x)\ln3$

   现在这个方程对 $x$ 而言是一次的，$\ln5$ 和 $\ln3$ 只是两个普通常数。

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   展开并把 x 项归到一起。

   $x\ln5+2\ln5=5\ln3-x\ln3\qquad\Longrightarrow\qquad x\ln5+x\ln3=5\ln3-2\ln5$

   两个 $x$ 项都移到左边，这样系数保持为正。

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   提出公因式，并用对数的积法则。

   $x(\ln5+\ln3)=5\ln3-2\ln5$

   由于 $\ln5+\ln3=\ln(5\cdot3)=\ln15$，可化简为

   $x=\frac{5\ln3-2\ln5}{\ln15}$

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   算出数值，并纠正一个流传很广的错误答案。 取 $\ln3=1.098612$，$\ln5=1.609438$，$\ln15=2.708050$：

   $x=\frac{5(1.098612)-2(1.609438)}{2.708050}=\frac{5.493060-3.218876}{2.708050}=\frac{2.274184}{2.708050}=0.839787$

   所以 $x\approx0.8398$。这道题有时会被答成 $1.037$，那是错的 —— 看下面的检验。

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   代回验证。 取 $x=0.8397871$：$5^{x+2}=5^{2.8397871}=96.5886$，$3^{5-x}=3^{4.1602129}=96.5886$ —— 七位有效数字都相等 ✓。若换成错误的 $x=1.037$，则 $5^{3.037}=132.67$ 对 $3^{3.963}=77.77$，差得远 ✗。