解不等式 log₅(x − 3√x + 32) < 2log₅(√x + 2)，并给出最小的正整数解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定义域定下来。 根号要求 $x\ge0$。令 $t=\sqrt{x}\ge0$，第一个真数就是 $t^2-3t+32$，它的判别式为 $9-128=-119<0$；又因为二次项系数为正，所以它恒为正。第二个真数 $\sqrt{x}+2\ge2>0$ 也没有问题。于是定义域就是 $x\ge0$，后面不会漏掉任何候选解。

2. 2

   把系数 2 挪进对数里面。 利用 $k\log_b u=\log_b u^k$：

   $2\log_5(\sqrt{x}+2)=\log_5\left((\sqrt{x}+2)^2\right)$

   这样两边就都是同底的单个对数了，只有化成这种形式，才能直接比较真数。

3. 3

   去掉对数。 因为底数 $5>1$，$\log_5$ 是增函数，所以对数之间的不等号等价于真数之间的同向不等号（方向不变；若底数小于 $1$ 就要反向）：

   $x-3\sqrt{x}+32 < (\sqrt{x}+2)^2$

4. 4

   展开并消项。 右边是 $x+4\sqrt{x}+4$，两边的 $x$ 恰好抵消：

   $-3\sqrt{x}+32 < 4\sqrt{x}+4 \quad\Longrightarrow\quad 28 < 7\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}>4$

5. 5

   放心地两边平方。 两边都非负，所以平方不改变不等号方向：

   $x>16$

6. 6

   读出最小的整数。 严格大于 $16$ 的最小整数是 $x=17$，而且它落在定义域 $x\ge0$ 内。检验一下：$17-3\sqrt{17}+32\approx36.63$，而 $(\sqrt{17}+2)^2\approx37.25$，所以 $x=17$ 确实满足不等式；但 $x=16$ 不满足（两边都等于 $36$）。