化简 (3⁵ × 27³ × 9⁴)/(3 × 81⁴)，答案分别写成 3 的幂和一个整数。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有数化到同一个底数上。 指数运算法则只能合并同底数的幂，而 $27$、$9$、$81$ 都是 $3$ 的幂：

   $27=3^{3},\qquad 9=3^{2},\qquad 81=3^{4}.$

2. 2

   用幂的乘方法则改写每个因子。 指数相乘：

   $27^{3}=\left(3^{3}\right)^{3}=3^{9},\qquad 9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8},\qquad 81^{4}=\left(3^{4}\right)^{4}=3^{16}.$

3. 3

   分子和分母分别归并。 同底数幂相乘，指数相加：

   $\text{分子}=3^{5}\cdot 3^{9}\cdot 3^{8}=3^{5+9+8}=3^{22},$

   $\text{分母}=3^{1}\cdot 3^{16}=3^{1+16}=3^{17}.$

   那个孤零零的 $3$ 要算作 $3^1$ —— 把这个指数忘掉是这里最常见的失手。

4. 4

   相除就是指数相减。

   $\frac{3^{22}}{3^{17}}=3^{22-17}=3^{5}.$

5. 5

   算出数值并验证。 $3^{5}=243$。核对一下：直接按整数算，$3^5\cdot27^3\cdot9^4=243\cdot19683\cdot6561=31\,381\,059\,609$，而 $3\cdot81^4=3\cdot43\,046\,721=129\,140\,163$；两者相除正好是 $243$。