展开 (4√3a + √3a²)²。

Step-by-step solution

1. 1

   平方之前先把括号里的公因式提出来。 两项都含 $\sqrt3\,a$：

   $4\sqrt3\,a+\sqrt3\,a^{2}=\sqrt3\,a\left(4+a\right).$

   这比直接对两个带根号的项用 $(u+v)^2$ 公式干净得多。

2. 2

   对提完公因式的形式平方。 平方可以分配到乘积的每个因子上：

   $\left(\sqrt3\,a(a+4)\right)^{2}=\left(\sqrt3\right)^{2}a^{2}(a+4)^{2}=3a^{2}(a+4)^{2}.$

   正是平方这一步让根号消失：$\left(\sqrt3\right)^2=3$。

3. 3

   把剩下那个平方展开。

   $(a+4)^{2}=a^{2}+8a+16.$

4. 4

   乘上 3a²。

   $3a^{2}\left(a^{2}+8a+16\right)=3a^{4}+24a^{3}+48a^{2}.$

5. 5

   用直接展开法交叉验证。 取 $u=4\sqrt3 a$、$v=\sqrt3 a^2$，套用 $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$：

   $u^{2}=48a^{2},\qquad 2uv=2\cdot 4\sqrt3 a\cdot\sqrt3 a^{2}=24a^{3},\qquad v^{2}=3a^{4},$

   三项相加同样得到 $3a^4+24a^3+48a^2$。注意中间那一项的根号也消失了，因为 $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$。