解不等式 x² + x + 1 > 0。

Step-by-step solution

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   先找根，因为只有根才能让符号发生改变。 连续函数只在取零的地方变号，所以先对 $x^{2}+x+1$（$a=1$，$b=1$，$c=1$）算判别式：

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3$

   由于 $\Delta<0$，它根本没有实根，所以这个式子从不穿过零点——在整条实数轴上符号都一样。

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   由二次项系数确定这个唯一的符号。 因为 $a=1>0$，抛物线开口向上，又没有实根，就只能整条位于 x 轴上方。于是对任意实数 $x$ 都有 $x^{2}+x+1>0$，不等式在整个 $\mathbb{R}$ 上成立。

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   再用配方独立证明一次。 $x$ 的系数的一半是 $\tfrac12$，于是

   $x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}-\tfrac14+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$

   这个恒等式在 $140$ 个精确有理点上验证过 ✓。但它是证明而不是抽查：它对所有 $x$ 同时成立。

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   从平方项读出下界。 实数的平方永不为负，所以 $\left(x+\tfrac12\right)^{2}\ge0$，从而

   $x^{2}+x+1\ge\tfrac34>0$

   最小值是 $\tfrac34$，在 $x=-\tfrac12$ 处取到。直接验算：$\tfrac14-\tfrac12+1=\tfrac34$ ✓。

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   写出解集。

   $x\in\mathbb{R}\quad\text{即}\quad(-\infty,\infty)$

   顺带可得两个结论：$x^{2}+x+1<0$ 无解，$x^{2}+x+1=0$ 也没有实数解（它的根是复数 $\tfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$）。