解不等式 (x + 1)(x − 4) < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   直接从因式读出临界值。 式子已经是因式形式，所以它在 $x=-1$ 和 $x=4$ 处取零。这两个点把数轴切成三段：$(-\infty,-1)$、$(-1,4)$ 和 $(4,\infty)$。乘积只可能在某个因式为零的地方变号，所以在每一段内部符号都是恒定的。

2. 2

   先从形状上预判答案。 展开后是 $x^2-3x-4$，一条开口向上、以 $-1$ 和 $4$ 为根的抛物线。这样的曲线只在两根之间位于横轴下方，所以我们已经能预期 $-1<x<4$；下面的分段取点只是确认这一点。

3. 3

   每段取一个方便的点代进去。

   $x=-2:\ (-1)(-6)=6>0,\qquad x=0:\ (1)(-4)=-4<0,\qquad x=5:\ (6)(1)=6>0$

   每段只取一个点就够了，正是因为符号在段内不会改变。

4. 4

   挑出乘积为负的那一段。 只有中间那一段符合：

   $-1<x<4$

   从结构上看，这里正是两个因式异号的区间：$x+1>0$ 而 $x-4<0$。

5. 5

   判定端点取舍。 在 $x=-1$ 和 $x=4$ 处乘积等于 $0$，而 $0<0$ 不成立，所以两个端点都排除。解集是开区间

   $x\in(-1,4)$

   （要是不等号写成 $\le 0$，答案就会是闭区间 $[-1,4]$。）