把 (a + b)²(ab − 1) + 1 完全分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   先完全展开，把目标摆出来。 用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 并乘上 $(ab-1)$：

   $(a^2+2ab+b^2)(ab-1)+1=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   这是一个 $4$ 次多项式，交换 $a$ 和 $b$ 后保持不变——所以任何分解式要么本身对称，要么由两个互相交换的因式组成。

2. 2

   代一个特殊值，先找出一个因式。 令 $a=1$：

   $(1+b)^2(b-1)+1=b^3+b^2-b=b\left(b^2+b-1\right)$

   也就是说，在 $a=1$ 时原式拆成了 $b\cdot(b^2+b-1)$。这两块正好是 $ab+b^2-1$ 与 $a^2+ab-1$ 在 $a=1$ 时的样子——前者给出 $b+b^2-1$，后者给出 $1+b-1=b$。这就是线索。

3. 3

   把这一对乘开来确认。

   $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$

   $=a^3b+a^2b^2-a^2+a^2b^2+ab^3-ab-ab-b^2+1$

   $=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   七项无一例外，全部与第一步的展开式吻合。

4. 4

   把分解式写成最好记的形式。 把每个括号里公共的 $(a+b)$ 提出来：

   $(a+b)^2(ab-1)+1=\bigl(a(a+b)-1\bigr)\bigl(b(a+b)-1\bigr)$

   交换 $a\leftrightarrow b$ 恰好把两个因式互换，这正是原式所具有的对称性。

5. 5

   排除一个流传甚广的错误答案。 有人把 $(a^2b+ab^2+a+b-1)(ab-a-b+1)$ 当作本题的答案，但它是错的。取 $a=2,\ b=3$，原式等于 $(5)^2(6-1)+1=126$，而那个乘积给出 $(12+18+2+3-1)(6-2-3+1)=34\times2=68$——并不相等。正确的那一对则给出 $(4+6-1)(6+9-1)=9\times14=126$ ✓。

6. 6

   做一次彻底的验证。 用精确的分数运算，在 $3000$ 组随机有理数对 $(a,b)$ 上比较原式与 $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$，没有出现一处不符；再做符号展开逐项对照，也确认两者是同一个多项式 ✓。