已知不等式 m - x² ≤ 1 - x 存在正数解，求 m 的取值范围。

Step-by-step solution

1. 1

   要分离出来的是参数，不是变量。 既然问的是 $m$，那就把不等式对 $m$ 解出来：

   $m-x^{2}\le 1-x\ \Longleftrightarrow\ m\le x^{2}-x+1$

   现在条件读作：存在 $x>0$ 使得 $m\le f(x)$，其中 $f(x)=x^{2}-x+1$。

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   把「存在」翻译成对值域的一个界。 一个 $m$ 可行，当且仅当 $m$ 小于等于 $f$ 在 $x>0$ 上的某个取值——也就是当且仅当

   $m\le \sup_{x>0}f(x)$

   整道题的胜负手就在这一步，也正是在这里千万不能把「有解」（存在量词）当成「对一切 $x>0$ 都成立」（全称量词）。全称的版本要求的会是 $m\le\min_{x>0}f(x)$。

3. 3

   分析 $f$ 在正半轴上的表现。 配方得

   $f(x)=x^{2}-x+1=\left(x-\frac12\right)^{2}+\frac34$

   所以 $f$ 在 $x=\tfrac12$（落在 $x>0$ 内）处取到最小值 $\tfrac34$，而当 $x\to+\infty$ 时 $f(x)\to+\infty$。因此它在 $x>0$ 上的值域是 $\left[\tfrac34,+\infty\right)$——上方无界。

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   套用刚才的判据。 既然 $\sup_{x>0}f(x)=+\infty$，条件 $m\le f(x)$ 总能被满足：不管 $m$ 是多少，取一个足够大的 $x$ 使 $x^{2}-x+1\ge m$ 即可。

   $m\in\mathbb{R}$

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   给出一个具体的见证，把话说实。 对任意给定的 $m$，取 $x=\max(1,m)$。此时 $f(x)=x^{2}-x+1=x(x-1)+1\ge 1$，且只要 $x\ge 1$ 就有 $f(x)\ge x\ge m$，所以这个 $x$ 就是一个正数解。例如 $m=100$ 时取 $x=100$ 即可，因为 $100^{2}-100+1=9901\ge 100$。

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   和「恒成立」的版本对照一下。 如果题目说的是这个不等式对每一个 $x>0$ 都成立，答案就会变成 $m\le\tfrac34$——取的是最小值，而不是上确界。把量词读对，就是这道题的全部难点。