解不等式 (x − 2)(x + 1)(x − 4) < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出临界点。 只有某个因式为零时，整个乘积才为零：

   $x=-1,\qquad x=2,\qquad x=4.$

   因为不等号是严格的，这三个值都不属于解集——它们只充当分界点。画符号表之前，一定要先把它们从小到大排好。

2. 2

   把数轴分成四段。 三个根把数轴切成

   $(-\infty,-1),\quad(-1,2),\quad(2,4),\quad(4,\infty).$

   一次因式之积的符号在每一段上都是恒定的，所以每段取一个点试一下就足够了。

3. 3

   每段取一点代进去。 数一数有几个负因式：

   $x=-2:\ (-4)(-1)(-6)<0;\qquad x=0:\ (-2)(1)(-4)>0;$

   $x=3:\ (1)(4)(-1)<0;\qquad x=5:\ (3)(6)(1)>0.$

   负因式个数为奇数时乘积为负，为偶数时乘积为正——这正是每越过一个根、符号就翻一次的原因。

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   再用重数这条捷径复核一遍。 这里每个根都是单根（重数为一），所以经过每个根符号都会翻转。从最右边出发，那里三个因式全是正的，往左走符号必然是 $+,-,+,-$ —— 与取点的结果完全一致 ✓。要是某个因式带平方，那一处的符号就不会翻。

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   把乘积为负的区间收拢起来。 读符号表即得：

   $x\in(-\infty,-1)\cup(2,4).$

   所有端点都是开的。如果不等号换成 $\le0$，答案就变成 $(-\infty,-1]\cup[2,4]$，三个根都要算进去。