把 9x² − 12xy + 4y² 写成一个二项式的平方。

Step-by-step solution

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   先看首尾两项是不是完全平方。 一个三项式要能写成二项式的平方，首项和末项必须都是平方：

   $9x^2=(3x)^2,\qquad 4y^2=(2y)^2$

   所以候选形式是 $(3x\pm 2y)^2$，而符号只能由中间项来定。

2. 2

   用 $2ab$ 核对中间项。 对 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，取 $a=3x$、$b=2y$：

   $2ab=2(3x)(2y)=12xy$

   题中的中间项是 $-12xy$，正好等于 $-2ab$。这一次核对就是整个方法的要害——中间项只要不是 $\pm 12xy$，这个式子就不可能是完全平方。

3. 3

   由中间项的符号定二项式的符号。 中间项为负，所以二项式里带减号：

   $9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$

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   展开验算。

   $(3x-2y)^2=(3x)^2-2(3x)(2y)+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\;\checkmark$

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   留意因式分解形式还告诉了我们什么。 既然这个式子是一个平方，那么对任意实数 $x,y$ 它都不会是负的，而且恰好在 $3x=2y$ 时取零。代入 $x=2$、$y=3$ 得 $9(4)-12(6)+4(9)=36-72+36=0$，确实有 $3(2)=2(3)\;\checkmark$ —— 这是对零点集的一次数值确认。