解方程组：(1/3)x − (1/3)y = −1；−(1/3)x + y − (1/2)z = −w；(5/6)z − (1/2)y = w；x = 30 + z。

Step-by-step solution

1. 1

   先从最简单的那个方程去分母。 把 $\tfrac13x-\tfrac13y=-1$ 两边乘 $3$，得

   $x-y=-3\;\Longrightarrow\;x=y-3.$

   从未知数最少的方程入手，能让后面的代入过程短很多。

2. 2

   把两个关于 $x$ 的表达式接起来。 第四个方程说 $x=30+z$，所以

   $30+z=y-3\;\Longrightarrow\;y=33+z.$

   至此除了 $w$ 以外，每个未知数都能用 $z$ 表示出来。

3. 3

   联立第二、第三个方程消去 $w$。 第二式两边乘 $-1$ 得 $\tfrac13x-y+\tfrac12z=w$，第三式给出 $\tfrac56z-\tfrac12y=w$。令二者相等，并把 $x=30+z$ 代进去：

   $10+\frac13z-y+\frac12z=\frac56z-\frac12y.$

   由于 $\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56$，两边含 $z$ 的项完全一样，直接抵消干净——正是这一步让整个方程组一行就解开了。

4. 4

   解剩下的方程求 $y$。

   $10-y=-\frac12y\;\Longrightarrow\;20-2y=-y\;\Longrightarrow\;y=20.$

   再由 $y=33+z$ 得 $z=20-33=-13$，由 $x=30+z$ 得 $x=17$。

5. 5

   求出 $w$，并把四个方程全部验证一遍。 由第三个方程，

   $w=\frac56(-13)-\frac12(20)=-\frac{65}{6}-10=-\frac{125}{6}.$

   用精确分数逐条检验：$\tfrac13(17)-\tfrac13(20)=-1$ ✓；$-\tfrac13(17)+20-\tfrac12(-13)=\tfrac{125}{6}=-w$ ✓；$\tfrac56(-13)-\tfrac12(20)=-\tfrac{125}{6}=w$ ✓；$30+(-13)=17=x$ ✓。