解方程 21x^2 + 68x - 85 = 0。

Step-by-step solution

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   先摆出十字相乘（AC 法）要找的东西。 由 $a=21$、$c=-85$，我们需要两个整数，乘积是

   $ac=21\cdot(-85)=-1785$

   而和是 $b=68$。

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   说明这个试探确实走不通。 $1785=3\cdot 5\cdot 7\cdot 17$ 的各对约数带上符号后，可能的和只有 $\pm 1784,\pm 592,\pm 352,\pm 248,\pm 104,\pm 88,\pm 64,\pm 16$。最接近的一组是 $85$ 与 $-21$，它们的和是 $64$，不是 $68$ —— 所以整数因式分解不存在，任何拿这组数凑出来的「答案」都是错的。

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   算判别式。

   $\Delta=68^2-4(21)(-85)=4624+7140=11764$

   由于 $108^2=11664$、$109^2=11881$，可见 $\Delta$ 不是完全平方数，这就确认了两根都是无理数。

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   套求根公式并化简。 $11764=4\cdot 2941$，而 $2941=17\cdot 173$ 不含平方因数，所以 $\sqrt{11764}=2\sqrt{2941}$：

   $x=\frac{-68\pm 2\sqrt{2941}}{42}=\frac{-34\pm\sqrt{2941}}{21}$

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   数值验算。 $\sqrt{2941}\approx 54.231$，于是 $x\approx 0.9634$ 或 $x\approx-4.2015$。代入得 $21(0.9634)^2+68(0.9634)-85\approx 19.49+65.51-85\approx 0$ $\checkmark$。