解方程：根号下 (x² − 6x + 25) 等于 3 − x。

Step-by-step solution

1. 1

   先记下定义域条件。 算术平方根永远非负，所以任何解都必须满足 $3-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 3.$ 这类题里增根之所以能蒙混过关，就是因为跳过了这一步。

2. 2

   两边平方。 $x^2-6x+25 = (3-x)^2 = 9-6x+x^2.$

3. 3

   把相同的项消掉。 $x^2$ 和 $-6x$ 在两边都出现，直接抵消，剩下 $25 = 9.$

4. 4

   解读这个矛盾。 没有任何 $x$ 能让 $25$ 等于 $9$，所以平方后的方程——从而原方程——无解。

5. 5

   从几何上确认。 $\sqrt{x^2-6x+25} = \sqrt{(x-3)^2+16}$ 是点 $(x,0)$ 到点 $(3,4)$ 的距离，它永远不小于 $4$；而 $3-x$ 本该等于这个距离，可把 $\sqrt{(x-3)^2+16}$ 与 $3-x$ 作比较可得，对每个 $x$ 都有 $(x-3)^2+16 > (3-x)^2$。左边永远严格更大。

6. 6

   和它的姊妹题对照一下。 把右边换成常数 $5$，得到 $\sqrt{x^2-6x+25}=5$，那个方程确实有解 $x=0$ 和 $x=6$。这里之所以出现矛盾，正是因为右边是个带变量的式子。