Calculus
Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
F(x) = (1/2) ln(2x + 1) y F((e² − 1)/2) = 1. Se sustituye u = 2x + 1, la condición F(0) = 0 anula la constante de integración y 2x + 1 se reduce a e².
La región entre x² + y² = 7y y x² + y² = 9y, cortada por y = x/√3 y x = 0, tiene área 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84. Se plantea y se resuelve la integral polar paso a paso.
x = 1 es evitable, un hueco en (1, −2), mientras que x = 2 es no evitable, una asíntota vertical. Se factoriza arriba y abajo para ver qué factor se cancela.
La integral vale exactamente π. El término x^3 cos(x/2) es impar, así que su integral es 0, y lo que queda es la mitad del área de un círculo de radio 2.
La derivada es 3x² − 6x + 2 y la integral de 0 a 3 vale 9/4. Primero la regla de la potencia y después el teorema fundamental del cálculo para el área con signo.
La derivada es (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)] para x > 1. No sirven ni la regla de la potencia ni la exponencial: hay que tomar ln en ambos lados primero.
Al eliminar a y b de x²/a² − y²/b² = 1 se obtiene xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0. Se deriva dos veces y se dividen las dos relaciones para quitar ambas constantes.
Se calcula la integral doble de 9y + 4x sobre la región limitada por y = 4x² − 9 e y = 9 − 4x²: primero los límites de integración y después la simetría, que da el resultado al instante.
La solución general es y = e^(−x) + Ce^(−2x). Se multiplica por el factor integrante e^(2x), se reconoce la regla del producto, se integra una vez y se despeja y.
Para f = x^2 y + x e^(−xy), la derivada direccional en la dirección (0, −1) vale −x^2(1 − e^(−xy)): es justo el opuesto de la derivada parcial respecto de y.
Solo dos: m = −1 y m = 0. La derivada (4 − m²)/(x − m)² exige m² < 4, y la asíntota vertical x = m debe quedar fuera de (0, ∞), lo que obliga a −2 < m ≤ 0.
El resultado es e^x (x^2 − 2x + 2) + C. Se ve por qué elegir u = x^2 baja el grado en cada vuelta, por qué hacen falta dos pasadas y cómo comprobarlo derivando.
Solución: y(t) = 2e^t − t² − 2 + 4u(t−2)senh(t−2). La transformada convierte el impulso en e^(−2s); después, fracciones parciales y antitransformada término a término.
Se resuelve y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sen(t−τ)dτ = 1 con y(0) = −1. El teorema de convolución convierte la integral en un producto y conduce a la solución en forma cerrada.
La suma por la izquierda vale 55 y la de la derecha 74.5 para f(x) = 2x^2 − x − 1 en [2, 5]. Como f es creciente allí, ambas encierran el área exacta, que es 64.5.
f(x) tiende a 1/4 y f(f(x)) tiende a 7/4. Se separa la fracción para obtener el límite interior y después se usa la continuidad para evaluar la función exterior en él.
El límite vale 2 ln 2, alrededor de 1.386. Un factor crece como x ln 2 y el otro decrece como 2/x, de modo que el producto de tipo infinito por cero se equilibra.
El límite vale 98/3 = 32.667. Se muestra cómo leer a, b y f(x) en una suma de Riemann: 2/n da la anchura y 3 + 2i/n da los extremos derechos en el intervalo [3, 5].
El límite vale 5/16. Dos caminos: separar el numerador en dos conjugados o aplicar la regla de L'Hôpital una vez a la indeterminación 0/0. Solución paso a paso.
El resultado es 16/3 + 2 sen 2. Se separa la diferencial exacta y se evalúa en los extremos; el resto se parametriza con x = 2cos t, y = 2sen t, paso a paso.
Al linealizar f(x) = (64 + x)^(1/3) en x = 0 se obtiene L(x) = 4 + x/48: la raíz cúbica de 62.5 vale 3.96875 frente al valor exacto 3.968503, con error 0.00025.
El resultado es -k. Se desarrolla A × B = 3yz i - 4xz j - xy k, se deriva una vez respecto de x, lo que da -4z j - y k, y otra vez respecto de y, paso a paso.
A los 20 minutos el café está a 48.9 °C y llega a 30 °C en unos 44 minutos. Con la lectura de 65 °C a los 10 minutos se ajusta k = (1/10)ln(14/9) = 0.04418.
La respuesta es 36 pi² < a < 64 pi². Cada k con 4 pi² k² < a aporta un par de raíces, así que hacen falta exactamente cuatro valores de k y ningún extremo vale.
Para z = ln((x - √(x²-y²))/(x + √(x²-y²))) las parciales son z_x = -2/√(x²-y²) y z_y = 2x/(y√(x²-y²)). Desarrollo completo y comprobación numérica.
El valor es (e^8 - 1)/6. Como e^(y³) no tiene primitiva elemental en y, se pasa a dx dy para que la integral interior aporte el y² que exige la sustitución.
La serie converge: el criterio del cociente da L = 1/3 < 1 y la fórmula de la serie aritmético-geométrica da el valor exacto 3/4. Justificación paso a paso.
La asíntota oblicua en +infinito es y = 3x - 1 y la curva queda por encima. Se completa el cuadrado hasta (3x - 1)² + 2 y se aplica el truco del conjugado.
El valor es pi/12. Con coordenadas cilíndricas en torno al eje x, las superficies se cortan en r = 1, el sólido va de x = r² hasta x = r y dV = r dx dr dtheta.
El valor es 4pi/5, unos 2.5133. Las coordenadas esféricas convierten el integrando en rho^4 sen(phi) y las tres integrales se separan en 2pi por 2 por 1/5.