Calculus
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La ecuación tiene exactamente tres raíces: x ≈ 1.28378, 2.49096 y 3.58430. Más allá de x = 1 + e¹·⁵ ≈ 5.48 el término logarítmico supera 3, así que ya no puede haber más cruces.
Las soluciones son x(t) = 1/(C − 2t²) junto con la solución constante x = 0, que la separación pierde al dividir entre x². Deducción completa y verificación.
f(0) = 1, el periodo de la oscilación es 2π y las curvas envolventes son y = ±e^(−αx). El signo de α decide si las oscilaciones decaen, se mantienen constantes o crecen.
La primitiva es x/2 + sen(2x)/4 + C. Reescribir cos² x como (1 + cos 2x)/2 elimina el cuadrado y deja dos integrales elementales en lugar de un producto.
La primitiva es D(Ka)^(−1/n) ₂F₁(1/n, 1/n; 1 + 1/n; −Dⁿ/Ka) + C. Se extrae Ka, se desarrolla la serie binomial y se integra término a término; con n = 2 se reduce a arcsinh.
El resultado es x^(1−b)[(1−b)sin(a ln x) − a cos(a ln x)]/((1−b)² + a²) + C. La sustitución u = ln x la convierte en la integral estándar de exponencial por seno.
F(x) = (1/2) ln(2x + 1) y F((e² − 1)/2) = 1. Se sustituye u = 2x + 1, la condición F(0) = 0 anula la constante de integración y 2x + 1 se reduce a e².
El área encerrada es exactamente 9/2 unidades cuadradas. Las curvas se cortan en x = −1 y x = 2, e integrar (x + 2) − x² en ese intervalo da ese valor.
El área es 9/2. Halla las intersecciones en x = 0 y x = 3, plantea la integral doble de 1 con y variando desde x hasta 4x − x², y luego integra la altura de la franja 3x − x².
La región entre x² + y² = 7y y x² + y² = 9y, cortada por y = x/√3 y x = 0, tiene área 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84. Se plantea y se resuelve la integral polar paso a paso.
La tasa de variación media es 49. Calcula (f(5) − f(3))/(5 − 3) = (125 − 27)/2, que es la pendiente de la recta secante que une los dos puntos de la cúbica.
La suma es π²/6, aproximadamente 1.644934. Converge como serie p con p = 2, y Euler halló el valor exacto factorizando sen(x)/x mediante sus raíces.
La solución es y³ = 1/(1 + C(1+t²)). La sustitución v = y^-3 convierte esta ecuación de Bernoulli en una EDO lineal de primer orden con factor integrante 1/(1+t²).
Respuesta: la suma de (−1)ⁿ C(k,n) xⁿ = 1 − kx + k(k−1)x²/2! − ..., válida para |x| < 1. Cada signo menos proviene de sustituir −x en el desarrollo binomial.
x = 1 es evitable, un hueco en (1, −2), mientras que x = 2 es no evitable, una asíntota vertical. Se factoriza arriba y abajo para ver qué factor se cancela.
La suma vale e^(1 + 2/n)(e² − 1)/(e^(2/n) − 1). Cada término es el anterior multiplicado por e^(2/n), así que se aplica directamente la fórmula de la suma geométrica finita.
La integral vale 0. El teorema de Green la convierte en una integral doble de dQ/dx − dP/dy, y las dos derivadas parciales valen eʸ, así que el integrando se anula y la forma del camino cerrado nunca importa.
Se parte la suma en N = ⌊1/x⌋: la cabeza se acota por 1/(√N ln 2) + 2/ln N usando |sen nx| ≤ nx, y la sumación de Abel acota la cola por 2π/ln(N + 1). Ambas tienden a 0 cuando x → 0.
Converge por comparación con la serie de Bertrand 1/(n ln² n). No existe forma cerrada elemental; la suma vale alrededor de 2.4919, no el 2.42 que sugiere una suma parcial corta.
Absolutamente convergente para a > 1, condicionalmente convergente para 1/2 < a ≤ 1 y divergente para 0 < a ≤ 1/2: el término de segundo orden de ln(1+x) decide el caso frontera.
La integral converge absolutamente para p > 2, converge condicionalmente para 1 < p ≤ 2 y diverge para p ≤ 1. Se resuelve con el cambio de variable u = x + y más el criterio de Dirichlet.
Los valores críticos son x = −4 y x = 2, así que el menor es −4. Al derivar se obtiene y' = x² + 2x − 8, que se factoriza como (x + 4)(x − 2) para resolver.
La curva nunca sube por encima del eje x: tiene un mínimo relativo en (−2, −8/e²), unos −1.083, un máximo relativo en el origen y tiende a 0 por debajo cuando x va a menos infinito.
La respuesta es 2π, unos 6.2832. Integrar la constante 1 mide la longitud del intervalo, así que el resultado es simplemente el límite superior menos el inferior.
La respuesta es 876.93758, no 876.93843. El término de decaimiento aporta a·k = 20.67158 porque e^(−23.58) es despreciable, y la constante aporta 856.266.
El valor es (7 − π − 3√3 − 2√2)/384 ≈ −0.010849. Es negativo solo porque el límite inferior π/8 es mayor que el superior π/12, lo que invierte el signo.
Respuesta: π/6, alrededor de 0.5235988. La sustitución u = x³ convierte la integral en B(1/2, 3/2)/3, que los valores de Gamma reducen exactamente a π/6.
La integral definida vale 8. Halla la primitiva x²/2, evalúala en 4 y en 0, y confírmalo con el área del triángulo que queda bajo la recta y = x.
El valor exacto es π + 16π(J₂(1) − J₃(1)) = 7.9339103333. El medio constante aporta el área del semicírculo, π; la parte x²cos(x/2) es un momento de Bessel y no es elemental.
El valor exacto es 2 − 5/e ≈ 0.160603. Dos rondas de integración por partes bajan el grado del polinomio de 2 a 0 y dan la primitiva −(x²+2x+2)e^(−x).
Respuesta: 10/3, unos 3.3333. Integra término a término para obtener x³/3 + 3x y aplica el teorema fundamental: el valor en 1 es 10/3 y el valor en 0 es 0.
El valor es 4 sen 2 − 2 cos 2 − 2, unos 2.4695. Con límites que no son múltiplos de π, los términos con seno y coseno sobreviven en lugar de anularse.
El valor es π² − 4, alrededor de 5.8696. Integrar por partes con u = x² baja la potencia a x, y una segunda pasada lo termina; los términos con seno se anulan en los dos límites.
La integral vale exactamente π. El término x^3 cos(x/2) es impar, así que su integral es 0, y lo que queda es la mitad del área de un círculo de radio 2.
Las soluciones exponenciales son f(x) = C e^(rx) con r e^r = 1, así que r = W(1) vale unos 0.567143. El retardo unitario hace que la ecuación característica sea trascendente.
La derivada es 3x² − 6x + 2 y la integral de 0 a 3 vale 9/4. Primero la regla de la potencia y después el teorema fundamental del cálculo para el área con signo.
El dominio son todos los números reales y la derivada es y' = −2sen(x). La constante 2 pasa intacta por la derivación, y el coseno se deriva como menos seno.
y' = 30x² − 2x + 4, y y' = 0 no tiene solución real porque su discriminante es 1 − 120 = −119 < 0, así que la curva no tiene tangente horizontal en ningún punto.
La derivada es 6e^(3x). La exponencial se reproduce a sí misma, la regla de la cadena aporta la derivada interior 3 y la constante 2 pasa intacta.
La respuesta es 6x². Desarrollar (x+h)³, cancelar el término constante y dividir entre h deja 6x² + 6xh + 2h², cuyo límite cuando h tiende a 0 es 6x².
La derivada es 10(2x+1)⁴(x²−1)³ + 6x(2x+1)⁵(x²−1)², la opción B. Cada regla de la cadena aporta una derivada interior: 2 en 2x + 1 y 2x en x² − 1.
La derivada es h′(x) = 2(2x + 1)⁴(x² − 1)²(11x² + 3x − 5). Aplica la regla del producto, usa la regla de la cadena en cada potencia y saca el factor común (2x + 1)⁴(x² − 1)².
dy/dx = 36x² cos(4x³+5)√(5(4x + 5/x)) + 3 sen(4x³+5)(20 − 25/x²)/(2√(5(4x + 5/x))). Se obtiene aplicando la regla del producto a dos factores que necesitan la regla de la cadena.
La respuesta es dy/dx = −30x sen(3x²). El coseno exterior aporta −seno del mismo interior, y el 3x² interior aporta un factor 6x además del 5.
La derivada del numerador es e^x(ln(x²+1) + 2x/(x²+1)) y la del denominador es cos x/(2√(sen x)); se combinan con la regla del cociente y se saca factor común e^x.
La derivada es 4x³/√(1 − x⁸). La regla del arcoseno aporta 1/√(1 − u²) con u = x⁴, la regla de la cadena aporta 4x³, y (x⁴)² se convierte en x⁸.
Respuesta: dy/da = −e^(−a/2)/(2(1 + e^(−a))) = −e^(a/2)/(2(e^a + 1)). Fíjate en que elevar al cuadrado e^(−a/2) da e^(−a), y eso es lo que hace que el denominador se simplifique.
La derivada es −sen(√(2x+1))/√(2x+1) para x > −1/2. La regla de la cadena se aplica dos veces, y el factor interior 2 cancela el 1/2 de la regla de la potencia.
f′ = e^(−x²)(3cos3x − 2x sen3x) y f″ = e^(−x²)((4x²−11)sen3x − 12x cos3x). Regla del producto dos veces, con la regla de la cadena aportando −2x y 3.
La respuesta es (eˣ(x − 3) − 3)/x⁴. Reescribir la fracción como (eˣ + 1)x^-3 convierte un problema de regla del cociente en uno más corto de regla del producto.
La derivada es 1/(x + eπ). La regla de la cadena da (1/(eπ)) partido por (1 + x/(eπ)), y al multiplicar arriba y abajo por eπ desaparece la fracción anidada.
La derivada es 2/x. La regla de la cadena da 6x/(3x²) y el 3 se cancela, exactamente como predicen las propiedades de los logaritmos, ya que ln(3x²) = ln 3 + 2 ln x.
La derivada es 1/√(x²−a²). El numerador de la regla de la cadena se factoriza como (√(x²−a²)+x)/√(x²−a²), y el paréntesis cancela todo el argumento del logaritmo: es la derivada del arcocoseno hiperbólico.
La derivada de y = log(sen x) es cot x. Aplica la regla de la cadena con la función interior sen x y luego simplifica cos x sobre sen x en una sola cotangente.
Respuesta: y′ = x·cos(3.14/3 − x²). La derivada interior es −2x, y los dos signos menos se cancelan contra el −1/2, lo que deja un coeficiente de x positivo y limpio.
y' = 3x¹¹ + 18x⁵ − 1. El coeficiente fraccionario 1/4 se multiplica por el exponente 12 y da 3, y el término constante 10 no aporta nada a la derivada.
y' = (1/2)x⁴ + 4x³ + 3. El coeficiente principal queda en 5/10 = 1/2, no en 2, y la constante irracional √3 se deriva a cero como cualquier otra constante.
La derivada es 2 sen x cos x, que la identidad del ángulo doble reescribe como sen 2x. Lee sen² x como (sen x)² para que la función exterior sea el cuadrado.
La derivada es f′(t) = sen(3t) + 3t·cos(3t). La regla del producto reparte el trabajo y la regla de la cadena aporta el factor 3 procedente de la función interior 3t.
La derivada es 0. La expresión 1/0.3 = 10/3 no contiene ninguna variable, así que es una función constante cuya gráfica es horizontal y cuya pendiente es cero en todas partes.
g′(5) = 1/2. Derivar f(g(x)) = x con la regla de la cadena da g′(x) = 1/f′(g(x)); como g(5) = 3, la respuesta es el recíproco de f′(3) = 2.
La derivada es cos(x+3) − x sen(x+3). La constante 7 desaparece al derivar, y la derivada interior de x+3 es 1, así que no aparece ningún factor extra de la cadena.
La derivada es 3x² − 6x + 2. La regla de la potencia baja cada exponente como coeficiente y lo reduce en uno, así que x³ pasa a 3x², −3x² a −6x y 2x a 2.
La derivada es 3x² + 4x − 5. Se aplica la regla de la potencia término a término, se conservan los múltiplos constantes y se observa que la derivada de un término lineal es solo su coeficiente.
La derivada es (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)] para x > 1. No sirven ni la regla de la potencia ni la exponencial: hay que tomar ln en ambos lados primero.
La respuesta es (1 − x²)/((x² + 1)²). El numerador se reduce desde (x²+1) − 2x², y por eso la derivada cambia de signo exactamente en x = 1 y x = −1.
La derivada es (2x tan x − x² sec²x)/tan²x. Aplica la regla del cociente con d/dx(tan x) = sec²x y reescribe después el resultado con seno y coseno.
La derivada de f(x) = x²/2 + cos 5x es x − 5 sen 5x. El término cuadrático da x, y la regla de la cadena sobre cos 5x saca un factor 5 junto con un cambio de signo.
La respuesta es 2x. La regla de la potencia d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹ con n = 2 da 2x¹, y la definición por límites lo confirma: el término 2xh es el que sobrevive.
El cociente incremental simplificado es 4x + 2h − 3. Desarrollar 2(x + h)² produce los términos 4xh y 2h² cuya h común cancela el denominador.
El cociente incremental es −11, sin ninguna h sobrante. Toda h se cancela porque una función lineal tiene pendiente constante, y eso es lo que lo convierte en una comprobación útil del álgebra.
En x = 1 la serie es la armónica, así que diverge y la derivabilidad ni se plantea. En x = −1 converge a ln 2 y la derivada lateral es ln 2 − 1/2 ≈ 0.1931472.
Al eliminar a y b de x²/a² − y²/b² = 1 se obtiene xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0. Se deriva dos veces y se dividen las dos relaciones para quitar ambas constantes.
dy/dx = 40x⁴ + 12/x⁵ − 4/x². Primero se escribe cada término como una potencia de x, así la regla de la potencia se aplica igual en todos y los dos exponentes negativos cambian de signo.
dy/dx = 48x⁵ + 12/x⁵ − 4/x². Reescribir 4/x como 4x^-1 permite que la regla de la potencia se ocupe de todos los términos, y los exponentes negativos invierten dos signos por el camino.
La derivada es 2e^(2x) artanh(√(e^x − 1)) + e^(3x)/(2√(e^x − 1)(2 − e^x)). Observa que 1 − z² se reduce a 2 − e^x, lo que además fija el dominio 0 < x < ln 2.
La respuesta es (3 − e^(2x))/((e^x + e^(−x))³). Tratar el denominador como una potencia negativa convierte la regla del cociente en un cálculo más limpio con las reglas del producto y de la cadena.
dy/dx = 2x. La regla de la potencia dice que la derivada de x^n es n·x^(n−1), así que con n = 2 el exponente antiguo pasa al frente como coeficiente y el nuevo exponente baja a 1.
El desplazamiento es 23/6 metros, unos 3.83 m: se integra v(t) = t² + t desde t = 1 hasta t = 2. Como la velocidad no cambia de signo en ese intervalo, el desplazamiento coincide con la distancia recorrida.
Es falso: para f = arctan, f′(0) = 1 es el máximo estricto de f′. Toda pendiente de cuerda es un promedio de f′ sobre un intervalo, y por tanto es estrictamente menor que 1, así que el valor 1 nunca se alcanza como pendiente de una cuerda.
Respuesta: 10 ln 2 − 6 ln 3 = 0.3397980736. Integra en x para llegar a ln(y+3) − ln(y+2) y luego usa la primitiva (y+a)ln(y+a) − (y+a) en cada logaritmo.
El resultado es aproximadamente −33.0784. El integrando no depende de x, así que la integral interior es solo su ancho y/1.1015, negativo para y en [−1.65, 0]: de ahí el valor negativo.
El valor es 72. Las tres rectas se cortan en (−2,−2), (4,−2) y (4,4), así que integrar y desde −2 hasta x y luego x de −2 a 4 cubre exactamente el triángulo.
El resultado es −8. Los límites interiores van de y = x a y = 3, así que la integral interior deja 3x² − 8x − 3, que integrada en 1 ≤ x ≤ 2 da −8.
La respuesta es 3/32 + ln(2)/8 ≈ 0.180393. La hipérbola xy = 1/4 parte el cuadrado, y el trozo 1/(16x) es el que produce el logaritmo del valor final.
La respuesta es π(1 − 1/e) ≈ 1.9858. En coordenadas polares el integrando se vuelve e^(−r²) por r, cuya primitiva en r sí existe en forma cerrada aunque e^(−x²) no tenga ninguna.
El valor exacto es (π/4)·erf(1)² ≈ 0.55775. El integrando se factoriza, así que la integral sobre el cuadrado se vuelve el cuadrado de una sola integral gaussiana, sin necesidad de una primitiva elemental.
El valor es 0. El cuadrado tiene lado 2π, es decir un periodo completo, así que tanto ∫sin x dx como ∫cos y dy se anulan y cada término del integrando separable aporta 2π por cero.
El valor es la suma de dos integrales de Fresnel, alrededor de 1.2148. Ninguna de las dos partes tiene primitiva elemental, pero la suma se separa en dos integrales de una sola variable.
La integral vale 5/6. La sustitución u = 1 − x, v = 1 − y convierte el máximo en max(√(1 − u²), v), lo que parte el cuadrado a lo largo de un cuarto de circunferencia.
Respuesta: −3π/2. Al integrar en y de 0 a x queda x(sen 2x − sen x), y las dos integrales que resultan en [0,π] valen −π/2 y π.
La integral vale 5/144. Al integrar primero en x, las curvas x = √y/3 y x = √y/2 dejan el factor 5y/72, y la integral de y·e^(−y²) de 0 a ∞ vale 1/2, lo que cierra el cálculo.
El valor es −16. Como [−1,1] es simétrico respecto a 0, la integral de x sobre ese intervalo es cero y solo queda −8y integrado de 0 a 2.
El valor es −9/2. Integrando primero en x queda 3/2 − 12y, y al integrar eso en y se obtiene −4.5; el teorema de Fubini da el mismo resultado con el orden invertido.
El valor es 5/3. Distribuye primero el x/8 para que el integrando quede como una suma de monomios, y luego integra en y y en x: la constante 1/8 convierte esto en una integral de densidad conjunta.
La integral vale 1 − √2/2, es decir unos 0.292893. Al invertir el orden la región se parte en dos franjas horizontales; las coordenadas polares confirman el mismo valor en una sola línea.
La integral vale ln 2. Integrar en y da un arcotangente, los límites se reducen a arctan 1 menos arctan(x/2), y una integración por partes lo termina.
El valor es (7/6)(√2 − 2) ≈ −0.6834. Pasa a polares, intersecta las condiciones x ≤ 0 y y ≥ x para obtener la cuña de pi/2 a 5pi/4, y luego integra r² y los ángulos.
Respuesta: π/6 − √3/8 + 5/48, unos 0.411259. Factoriza x(1 + y), integra en x para llegar a √(1−y²) − 1/2 y luego usa la primitiva estándar del arcoseno.
El valor es 4π/√3 − 3π/2, aproximadamente 2.5428. En forma polar el r se cancela y queda una sola integral en theta que la identidad de la suma de cubos simplifica.
Resultado: −5/3. El integrando se parte en x² y −8y, y cada uno se separa sobre el rectángulo, lo que da 7/3 − 4 = −5/3.
La integral vale 149/105, alrededor de 1.4190. Integrar primero en y mantiene los límites simples, porque en 0 ≤ x ≤ 1 la parábola siempre queda por debajo de la recta.
Respuesta: 2/3. Por simetría los dos términos aportan lo mismo, 1/3 cada uno, así que la integral sobre 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 vale 2/3.
El valor es π/2 − sen(π³)/(2π²) ≈ 1.59097. La integral interior es un cambio de variable perfecto: con u = xy², el factor xy dy es exactamente du/2 y sen(xy²) se convierte en un coseno.
Respuesta: 5π/4 + 1/8 − e^(10π)/8. La sustitución u = x²y convierte la integral interior en x en (1 − e^(4y))/2, y la integral exterior ya es elemental.
El resultado es 4/5. Las franjas verticales van de y = x² hasta y = 1 para −1 ≤ x ≤ 1, lo que da (1 − x⁴)/2 tras la integral interior y 4/5 tras la exterior.
Respuesta: 0. El integrando se separa, y el factor en x, x/√(R² − x²), es impar en el intervalo simétrico de −R a R; cada mitad converge a R, así que la suma es exactamente cero.
El resultado es −5/3. Con límites constantes la integral se itera directamente; el punto delicado es el signo al sustituir x = −2, porque (−2)³ = −8 y no 8.
La integral doble vale 16π/9 = 5.585. Integra primero en y para llegar a (8/3)x sen³x, reescribe sen³x con la identidad del ángulo triple y luego integra por partes.
El valor exacto es −3π/2 ≈ −4.712. Con los vértices (0,0), (π,0) y (π,π), los límites 0 ≤ y ≤ x dejan dos integrales por partes que se restan.
Se calcula la integral doble de 9y + 4x sobre la región limitada por y = 4x² − 9 e y = 9 − 4x²: primero los límites de integración y después la simetría, que da el resultado al instante.
Resultado: sin²(x)/128 + (1 − cos x)/72 para 0 ≤ x ≤ π/2. Factorizar como r² sin(θ)(r cos θ + 1/3) muestra que el integrando es no negativo, y entonces se puede quitar el valor absoluto.
El valor es unos 1.7865. El signo más dentro de la raíz hace que el módulo sea imaginario, así que se usa E(k) con parámetro negativo y se evalúa numéricamente.
El valor es de unos 1.928009. La integral es la integral elíptica completa de segunda especie E(m) con el parámetro negativo m = −tan²(0.8), que vale alrededor de −1.06016.
Los dos extremos tienden a 0 porque el denominador tiene grado 6 y el numerador solo grado 3. El cociente se comporta como −1/(2x³), lo que da la asíntota horizontal y = 0.
La serie 1/Gamma(3/5) por la suma de (1/10)^(8n/5+1)/Gamma(8n/5+1) vale unos 0.00118532. Solo cuentan los tres primeros términos; el resto queda por debajo de 1e-10.
Los valores son 25, 300, 153, 729 y 41. Todas las funciones de aquí son continuas en el punto objetivo, así que el límite es simplemente el valor de la función: no hace falta ningún álgebra.
La solución general es x + 2y − 3ln|x + y + 4| = C. La ecuación no es exacta, pero ambos coeficientes dependen solo de x + y, así que u = x + y separa las variables.
Separando variables se obtiene P = 800 e^(0.12t). En t = 5 eso da 800 e^0.6 = 1458 conejos, y el tiempo de duplicación ln 2 / 0.12 = 5.78 años no depende de la población inicial.
Se factoriza como (y' - 2x² - x)(y' - 2x² + x), porque los tres primeros términos completan el cuadrado (y' - 2x²)². Cada factor se integra luego en una familia de soluciones.
Los valores son a = 17/175 y b = 1/25. Igualar las ramas en x = −2 da b = 21a − 2, igualarlas en x = 1 da 7a + 8b = 1, y resolver el sistema fija ambos.
Respuesta: a = 2, b = 3, c = 4. El numerador debe anularse en x = 1 para que el límite sea finito, al factorizar el límite vale 3 y la rama izquierda -x + c tiene que coincidir con él.
El límite existe solo cuando a = e − 1/e. El factor con e^(1/x) tiende a 1 por la derecha y a 2 por la izquierda, mientras que (1+|x|)^(1/x) tiende a e y a 1/e.
k = 6, h = 2 y s = 1. El factor integrante x convierte la ecuación en (xy)′ = 18x² + 4x, así que xy = 6x³ + 2x² + C y la solución se reordena como 6x² + 2x − y + C/x = 0.
La solución general es y = e^(−x) + Ce^(−2x). Se multiplica por el factor integrante e^(2x), se reconoce la regla del producto, se integra una vez y se despeja y.
Tratando y′ como incógnita, el discriminante resulta un cuadrado perfecto (x² − y²)², así que y′ = −y/x o y′ = −x/y, lo que produce las dos familias xy = C₁ y x² + y² = C₂.
La integral de superficie vale 8π. Se tapa la semiesfera abierta con el disco z = 0, se aplica el teorema de la divergencia, se resta el flujo del disco y se invierte el signo para el lado interior.
El resultado es a(π/α)^(3/2)·e^(−k²/(4α)) + 3cπ^(3/2)/(2α^(5/2)). El término del seno se anula por simetría impar, el del coseno es la transformada de Fourier de una gaussiana en 3D y el de r² es una integral gamma.
Si b/a > 0 la solución oscila como C₁cos(√(b/a)x) + C₂sen(√(b/a)x); si b/a < 0 es un par de exponenciales reales; si b = 0 es la recta C₁x + C₂.
La respuesta se divide según el signo: k > 0 da cos y sen de √k·t, k = 0 da la recta C1·t + C2, y k < 0 da exponenciales creciente y decreciente.
La ecuación característica es r² − ar + b = 0. Su discriminante a² − 4b divide la respuesta en exponenciales distintas, una raíz doble con un factor x, u oscilación amortiguada.
Para f = x^2 y + x e^(−xy), la derivada direccional en la dirección (0, −1) vale −x^2(1 − e^(−xy)): es justo el opuesto de la derivada parcial respecto de y.
El gradiente es ⟨12x³yz³, 3x⁴z³, 9x⁴yz²⟩. Cada componente es una derivada parcial, calculada dejando fijas las otras dos variables para aplicar la regla de la potencia en una sola variable.
Las sumas agrupadas son la subsucesión S_3n de las sumas parciales. Como a_n tiende a 0, S_3n+1 y S_3n+2 comparten el mismo límite, así que toda la sucesión de sumas parciales converge.
dy/dx = −(3x² + 2xy)/(x² + 3y²). Se deriva cada término respecto de x, con la regla del producto en x²y y la regla de la cadena en y³, y después se despeja dy/dx.
Respuesta: dy/dx = (sec y + 2y sec²2x)/(4 − tan 2x − x sec y tan y). Ambos lados requieren la regla del producto, y la regla de la cadena añade un factor 2 dentro de tan 2x.
El resultado es dy/dx = (−180x⁵ − 400x¹⁹y)/(20x²⁰ + 8y⁷). El término 20x²⁰y exige la regla del producto, y cada y derivada aporta un factor dy/dx.
El valor es π/8, aproximadamente 0.3926991. Sacar el 4 como factor deja un cuarto de la integral estándar de 1/(1+x²)², que vale π/2 sobre toda la recta real.
El valor es 1/3. La sustitución x = cosh t convierte x + √(x²−1) en e^t, y el límite inferior debe ser 1, no 0, para que el integrando sea real.
La respuesta es −1. La primitiva x·ln x − x sale de integrar por partes, y el extremo en 0 se maneja con el límite a·ln a → 0 cuando a → 0 por la derecha.
La integral desde menos infinito hasta 0 de 1/(3√((x−8)²)) diverge a más infinito. Se reescribe la raíz como 8 − x, se integra hasta un logaritmo y se toma el límite.
El valor es exactamente 1/2. La sustitución u = x² convierte el integrando en (1/2)e^(−u), y al hacer crecer el límite superior el término e^(−b²) se anula, así que la integral converge.
El valor es 6. El integrando se dispara en x = 0, así que hay que partir la integral ahí, pero cada mitad converge a 3 porque la primitiva 3x^(1/3) se mantiene finita.
La respuesta es −(1/b)ln|a − bx| + C. La sustitución u = a − bx tiene du = −b dx, así que el inverso de la pendiente interior, signo negativo incluido, sale hacia adelante.
El resultado es 2ln|x| + 1/x + C. El exponente −1 obliga al logaritmo mientras que −2 usa la regla de la potencia ordinaria, así que los dos términos se comportan de forma muy distinta.
La respuesta es 3ln|x| + 2/x + C. El término x⁻¹ necesita la excepción del logaritmo, mientras que x⁻² usa la regla ordinaria de la potencia, y el doble signo negativo se convierte en un más.
La respuesta es Ei(x) + C, la integral exponencial. Ninguna combinación de funciones elementales tiene derivada e^x/x, así que hace falta de verdad una función especial.
La primitiva es −(1/2)e^(−x²) + C. El factor x de fuera es exactamente la mitad de du, y eso es lo que hace que esta sustitución cierre a la perfección.
El producto converge para todo x > 0 por comparación con la suma de 1/n², y ln del producto dividido entre √x tiende a π, lo que la fórmula de Euler para el senh vuelve exacto.
Solo dos: m = −1 y m = 0. La derivada (4 − m²)/(x − m)² exige m² < 4, y la asíntota vertical x = m debe quedar fuera de (0, ∞), lo que obliga a −2 < m ≤ 0.
La respuesta es (b − a)u/(ab√(a − bu²)) + arcsen(u√(b/a))/(b√b) + C. Reescribir u² como (a − (a − bu²))/b parte la integral en dos formas estándar, sin sustitución trigonométrica.
La respuesta es 2 arsinh(√x) + C, equivalente a 2 ln(√x + √(x+1)) + C. La sustitución x = senh²(t) vuelve elementales los dos radicales a la vez.
La primitiva es ln|x| + C. Sin el valor absoluto la fórmula quedaría indefinida para x < 0, donde 1/x se comporta perfectamente bien y es integrable.
La sustitución x − 1 = 1/t convierte el radical en √(4 − 1/t²) y la integral en una forma estándar, y da −(1/2) ln|(2 + √(−x² + 2x + 3))/(x − 1)| + C.
La primitiva es −1/x − (2/3)√x + C. Reescribe los dos términos como potencias, x^(−2) y (1/3)x^(−1/2), y luego suma uno a cada exponente y divide entre él.
La respuesta es tan y + C. La identidad pitagórica convierte 1 + tan²y en sec²y, que es exactamente la derivada de la tangente, así que no hace falta trabajo real.
La primitiva es ln|(1 + x)/(1 − x)| + C. Como 1 − x² = (1 − x)(1 + x), el integrando se separa en 1/(1 − x) + 1/(1 + x) y los dos logaritmos se combinan.
El resultado es (2^x + 4)⁶/(6 ln 2) + C. Como la derivada de 2^x es 2^x ln 2, el factor 2^x de fuera es justo la derivada que hace falta, salvo la constante ln 2.
La integral de 25x^(3/2) es 10x^(5/2) + C. Se suma 1 al exponente 3/2 para obtener 5/2, y luego se observa que dividir entre 5/2 es lo mismo que multiplicar por 2/5.
La respuesta es 2e^(2x) + (1/2)cos(2x) + C. Cada coeficiente interior 2 divide al resultado, y el signo menos delante de sen 2x hace que el término del coseno quede positivo.
El valor es aproximadamente 1.09869. No hay forma cerrada elemental, así que se desarrolla 1/cosh x como serie exponencial alternada y el resultado se confirma por cuadratura.
La respuesta es (1/2)sen(2x) + C. La regla de la cadena multiplicaría por 2 al volver, así que la primitiva debe llevar delante el inverso 1/2.
La respuesta es −(1/5)cos(5 sen x + 2) + C. Como la derivada de sen x es cos x, con u = 5 sen x + 2 queda du = 5 cos x dx y la integral se reduce a un quinto de la integral de sen u.
La integral diverge como integral impropia ordinaria; como distribución vale 2πδ(x). Al truncar en ±A queda 2sen(Ax)/x, que oscila para siempre pero converge débilmente a 2πδ(x).
El resultado es (√π/2)·erf(x) + C. No existe primitiva elemental, así que la integral se define mediante erf, cuyo factor 2/√π se cancela aquí.
La primitiva es γ(4.102378, x) + C, equivalentemente −Γ(4.102378, x). Un exponente no entero bloquea la integración por partes, así que la respuesta es una función especial.
El valor es 12·ζ(3)² - 2·π⁶/45, aproximadamente -25.3891. Se separa el núcleo, se desarrolla en serie y se evalúa en forma cerrada la suma de Euler de H(m)/m⁵.
La integración por partes deja la pieza no elemental ln(1+x²)/x, que vale −Li2(−x²)/2. Por eso la primitiva completa necesita la función dilogaritmo.
No existe primitiva elemental. Al reescalar a la forma estándar queda −2√(10π)·C(√(8/(5π))·t) + C1, donde C(x) es la integral de Fresnel del coseno.
No existe primitiva elemental. Sustituyendo u = ln x y desarrollando 1/(1 + e^(−u)) se obtiene (ln x)^(1−a)/(1 − a) más una serie de funciones gamma Γ(1 − a, n ln x).
Se aparta un coseno, se transforma el resto con cos² = 1 − sen² y se sustituye u = sen x para obtener sen³(x)/3 − sen⁵(x)/5 + C como primitiva.
La respuesta es (1/4)cot(4 cos x) + C. La sustitución u = 4 cos x convierte el integrando en −(1/4)csc²(u), cuya primitiva es (1/4)cot(u).
La integral vale π/10. El integrando es la derivada direccional radial, así que se promedia f en θ: la media cumple (r g')' = r³, lo que da g' = r³/4 sin importar qué f se use.
La respuesta es −cos(7x⁴ + 3)/28 + C. El x³ de afuera es casi la derivada del interior 7x⁴ + 3, así que la sustitución funciona y la integración por partes es innecesaria.
La primitiva es −1/(2(x²−2x+3)) + C. El numerador es la mitad de la derivada de la base, que es justo el patrón para el que sirve el cambio de variable.
La primitiva es −5 ln|x − 2| + 6 ln|x − 3| + C. Se factoriza el denominador como (x − 2)(x − 3), se descompone en dos fracciones simples y se integra cada logaritmo.
La respuesta es −(x/2)e^(−x²) + (√π/4)·erf(x) + C. Se empareja una x con la exponencial para que funcione la integración por partes y luego se expresa la gaussiana sobrante con erf.
El resultado es e^x (x^2 − 2x + 2) + C. Se ve por qué elegir u = x^2 baja el grado en cada vuelta, por qué hacen falta dos pasadas y cómo comprobarlo derivando.
Respuesta: −x² cos x + 2x sen x + 2 cos x + C. Cada ronda de integración por partes baja en uno el grado de x, así que un polinomio de grado 2 necesita exactamente dos aplicaciones.
La respuesta es -3π/2. Se separa en dos integrales por partes: x·sen(2x) da -π/2 y x·sen(x) da π, así que al restar queda -π/2 - π, es decir -3π/2.
La respuesta es (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + (x²+1)^(1/2) + C. Escribir x⁴ como (u−1)² convierte el integrando en tres potencias simples de u.
La primitiva es x⁴/4 − 3x²/2 + 5ln|x| + C. Primero se divide cada término del numerador entre x y luego se aplican por separado la regla de la potencia y la regla del logaritmo para 1/x.
La respuesta es −ln|y| + C. Las constantes 2 y −2 se reducen a −1, lo que deja la integral estándar del recíproco, cuya primitiva necesita el valor absoluto.
La primitiva es (25/7)y^(7/5) + C. Al sumar 1 al exponente 2/5 se obtiene 7/5, y dividir entre 7/5 equivale a multiplicar por 5/7, así que 5 por 5/7 da 25/7.
La primitiva es e^(6x)/6 + C. La regla de la cadena saca un factor 6 al derivar, así que al integrar hay que dividir entre 6 para compensarlo.
La primitiva es x⁴/4 + 6x + C. La regla de la potencia sube el exponente de 3 a 4 y divide entre 4, mientras que la constante 6 se integra en el término lineal 6x.
La primitiva es x²/2 + 3x + C. Se separa la integral término a término, se aplica la regla de la potencia a x y se trata el 3 como la constante 3x⁰, y luego se suma una sola constante C.
La primitiva es x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C. Reescribir x^(2/4) como x^(1/2) es el paso que permite aplicar la regla de la potencia sin tropiezos.
El intervalo es el cerrado [−1, 1]. El coeficiente se reduce a 2/(n(n+2)), que decae como 1/n², así que el radio es 1 y ambos extremos siguen convergiendo.
El resultado es 0.4δ(t−1) + 0.2δ(t−2) + 0.4δ(t−3). Una exponencial e^(−as) sin ninguna F(s) acompañándola se invierte en una delta de Dirac desplazada, y el signo del exponente fija el desplazamiento.
Respuesta: no. Li2 está definida y es continua en 1, con valor π²/6, pero su derivada -ln(1-x)/x diverge a +infinito cuando x tiende a 1 por la izquierda.
Sí. La derivación término a término da la serie armónica alternada, que converge a ln 2, y el teorema de Abel convierte ese límite en la derivada lateral real en el extremo.
La respuesta es π/4 + 1/6. Los términos en x² se cancelan al desarrollar el cuadrado, y quedan el área de un cuarto de círculo más dos piezas polinómicas elementales.
La integral vale 2/3 + π/4 ≈ 1.4520648. La integración interior en y se reduce a 1 − x² + √(1 − x²), cuya última pieza es el área del cuarto de disco π/4.
La respuesta usa la fórmula de la secante al cubo. Tras la integración interior en r el problema se vuelve la integral de sec³, que necesita la primitiva estándar de logaritmo más producto.
Solución: y(t) = 2e^t − t² − 2 + 4u(t−2)senh(t−2). La transformada convierte el impulso en e^(−2s); después, fracciones parciales y antitransformada término a término.
Se resuelve y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sen(t−τ)dτ = 1 con y(0) = −1. El teorema de convolución convierte la integral en un producto y conduce a la solución en forma cerrada.
Respuesta: 1/(s−2)² para s > 2. Se parte de L{t} = 1/s² y se aplica el primer teorema de traslación, que reemplaza s por s − 2 cuando aparece un factor e^(2t).
La suma por la izquierda vale 55 y la de la derecha 74.5 para f(x) = 2x^2 − x − 1 en [2, 5]. Como f es creciente allí, ambas encierran el área exacta, que es 64.5.
El límite vale 2. Se dividen numerador y denominador entre x² dentro de la raíz, con lo que el cociente tiende a 36/9 = 4, y la raíz cuadrada de 4 es 2.
El límite es −infinito. Derivar la serie da (eˣ − 1)/x, así que la suma es una integral que se comporta como −ln|x| y baja sin cota.
El límite vale 4. Sustituir u = x − 1 convierte la expresión en u(u+2)tan(2u)/sen²(u), donde tan 2u ~ 2u y sen²u ~ u² cancelan los factores u.
El límite es e². La forma es 1 elevado a infinito, así que se toman logaritmos: (1/x)ln(e^x + x) queda 0/0 y la regla de L'Hôpital da 2, de donde la respuesta e².
El límite de (1 − cos 2x)/(2x) cuando x tiende a infinito es 0. Como 0 ≤ 1 − cos 2x ≤ 2, el teorema del sándwich atrapa el cociente entre 0 y 1/x.
El límite es 0. El numerador se anula como x²/2 mientras que el denominador se anula solo como −x, así que el cociente se comporta como −x/2 y tiende a cero por ambos lados.
El límite es 2. Aquí el radical está en el denominador, así que se multiplica por su conjugado, se usa 1 − x² = (1 − x)(1 + x) y se cancela el factor común.
El límite es 0. Elevar al cuadrado borra el signo, así que x² tiende a +infinito por cualquiera de los dos lados, y un numerador fijo sobre un denominador no acotado se colapsa a cero.
Respuesta: 256. Al cancelar el factor común x − 2 la base queda como (x² + 2x + 8)/4, que tiende a 4 y no a 1; con exponente 4 el límite es 4⁴ = 256.
El límite es −1/7. Se divide numerador y denominador entre el término dominante (−7)ⁿ; el cociente sobrante (2/−7)ⁿ tiende a 0 aunque su signo se alterne.
El límite es −1. Al dividir numerador y denominador entre 3ˣ, que crece más rápido, queda ((2/3)ˣ − 1)/((2/3)ˣ + 1), y (2/3)ˣ → 0 porque la base es menor que 1.
El límite es −1, de modo que la elección correcta es 'ninguna respuesta correcta'. Los coeficientes principales son −1 arriba y +1 abajo, y todos los demás términos mueren como 1/n² o 1/n³.
El límite vale 0. Al dividir numerador y denominador entre x², la mayor potencia del denominador, queda (2/x − 3/x²)/(1 + 3/x), cuyo numerador se anula.
Respuesta: el límite no existe. Factorizar hasta (x−1)(2x+3)/|x−1| da −5 por la izquierda y +5 por la derecha, un salto de altura 10 en x = 1.
El límite es 7/13. Tanto el numerador como el denominador se anulan en x = 1, así que ambos contienen el factor x − 1; cancelarlo elimina la indeterminación.
El límite es 42. Todo polinomio es continuo en todas partes, así que se puede sustituir x = 2 directamente en 3x³ + 5x² + 4x − 10 y evaluar: 24 + 20 + 8 − 10 = 42.
El límite es 1. Se factoriza el numerador como (2−x)(2+x) y el denominador como x²(2+x), se cancela el (2+x) común y se sustituye x = −2 en (2−x)/x².
La respuesta es 14/15. Primero se comprueba el denominador en x = 2: vale 30, no cero, así que la sustitución directa es válida y da 28/30, que se simplifica a 14/15.
El límite es 5/3. Dividir arriba y abajo entre x³ manda a cero todos los demás términos y deja solo el cociente de los dos coeficientes principales.
El límite es −infinito. Restar el x² no acotado a la constante 9 hace bajar el valor sin cota, tal como corresponde a una parábola que abre hacia abajo.
Como 1/i = −i, la expresión vale sen x − i cos x, que conserva módulo 1 y gira para siempre. Nunca se estabiliza, así que el límite no existe.
f(x) tiende a 1/4 y f(f(x)) tiende a 7/4. Se separa la fracción para obtener el límite interior y después se usa la continuidad para evaluar la función exterior en él.
El límite vale 1, la opción D. El exponente se comporta como 1/x mientras que la base es 1 + O(x²), así que su producto tiende a 0 y toda la expresión tiende a e⁰ = 1.
El límite vale 2 ln 2, alrededor de 1.386. Un factor crece como x ln 2 y el otro decrece como 2/x, de modo que el producto de tipo infinito por cero se equilibra.
Respuesta: 1. El denominador |x−1| vale 3 en x = −2, no 0, así que la función es continua ahí y la sustitución directa da 3/3 = 1 sin necesidad de límites laterales.
Para a(n) igual a la integral de 1/2 a 2 de 2^x/(1 + x²)^n, el cociente a(n+1)/a(n) es un promedio ponderado de 1/(1 + x²), así que tiende a su valor máximo 4/5.
El límite es 5. Solo importan los grados principales: los logaritmos se comportan como 100·ln(x) y 20·ln(x), y las constantes 100 y 2 desaparecen por completo.
Respuesta: menos infinito. La parte racional tiende al valor finito 3 mientras que la raíz cuadrada crece como n, así que una cantidad acotada menos una no acotada diverge.
El límite es 1/18. Las dos partes se anulan en x = −5, así que se multiplica por el conjugado del numerador y se factoriza la cuadrática para cancelar el factor común (x + 5).
El límite es 1. Factorizar el numerador en cos x y reescribir sen²x como (1 − cos x)(1 + cos x) cancela exactamente el factor que se anula, sin necesidad de L'Hôpital.
Respuesta: 1. Al factorizar queda cos x (1 − cos²x) = cos x sen²x, así que el cociente es cos x por (sen x / x)², y ambos límites estándar valen 1 en x = 0.
El límite es 1. Es la definición de la derivada de eˣ en 0, se sigue de la serie eˣ = 1 + x + x²/2 + … y la regla de L'Hôpital lo da en un solo paso.
El límite es −2. Restar 2x elimina el término lineal de ln(1 + 2x), así que lo que sobrevive es el término cuadrático −(2x)²/2, y al dividir entre x² queda exactamente −2.
El límite es 0. Un logaritmo crece más despacio que cualquier potencia positiva, así que L'Hôpital convierte ln(n)/n² en 1/(2n²), que se desploma a cero conforme n crece.
El límite es 0. La forma es infinito sobre infinito, y una sola aplicación de L'Hôpital la convierte en 2/√x, que claramente tiende a cero cuando x crece.
El límite es 0. Al factorizar eˣ dentro del logaritmo queda ln(eˣ + x) = x + ln(1 + x e⁻ˣ), así que el numerador crece como x mientras que el denominador crece como x².
El límite es +infinito. Un coeficiente negativo multiplicado por una variable que se va a −infinito da un producto positivo, y el −4 fijo no puede frenar un crecimiento sin cota.
El límite es 0. El numerador solo alterna entre −1 y 1, así que se mantiene acotado, mientras que n crece sin cota y obliga al valor absoluto 1/n a irse a cero.
Sustituir u = 2/n convierte la sucesión en 4 por (1 − cos u)/u², y como ese cociente tiende a 1/2 el límite de toda la expresión es 2.
El límite por la derecha es 1. Tomar logaritmos convierte infinito elevado a cero en x² ln(1/x), que tiende a 0; por la izquierda la base es negativa y la expresión no está definida.
El límite vale 98/3 = 32.667. Se muestra cómo leer a, b y f(x) en una suma de Riemann: 2/n da la anchura y 3 + 2i/n da los extremos derechos en el intervalo [3, 5].
El límite vale √3/6, aproximadamente 0.2887. Se multiplica por el conjugado para eliminar los radicales, se cancela la x y se sustituye x = 0 en lo que queda.
Respuesta: 3√2/2, aproximadamente 2.12132. Se sustituye t = √x para que aparezca un cociente de derivada, o bien se racionalizan ambos radicales; los dos caminos dan el mismo valor.
No existe: el límite por la derecha vale 2 y el de la izquierda −2. La clave es que √(x²) = |x| y no x; escribirlo mal es lo que hace parecer que la respuesta es 2.
El límite no existe. En x = 5 el numerador vale √16 − 6 = −2, no 0, así que la forma es −2/0 y no 0/0: el cociente se va a −∞ por la derecha y a +∞ por la izquierda.
El límite es 1/6. Multiplicar por el conjugado convierte el numerador en x − 4, que se cancela con el denominador y deja 1/(√(x+5) + 3) para evaluar.
El límite vale 5. El radicando es continuo y positivo en x = 3, así que basta sustituir para obtener √25: la raíz cuadrada pasa directamente a través del límite.
El límite es −4. Los términos lineales 3x se cancelan y quedan los cúbicos −9x³/2 y +x³/2, así que el cociente tiende a −4: una forma 0/0 que exige desarrollar hasta tercer orden.
El límite es 5/8. Sustituyendo x = π/2 + t queda (cos 2t − cos 3t)/(4t²), y los desarrollos del coseno hasta segundo orden dejan (9/2 − 2)/4.
El límite vale 2/3. Al dividir numerador y denominador entre x cada término se convierte en el límite estándar sen(kx)/x, y queda (3 + 1)/(1 + 5) = 4/6.
El límite vale −3/2. Con el cambio x = π/4 + t el numerador se convierte en −sen 4t − sen 2t y el denominador en 4t, de modo que el cociente tiende a (−4 − 2)/4.
El límite de sen(9x)/cot(12x) cuando x tiende a 0 vale 0. Reescribe cot(12x) como coseno sobre seno para que el cociente quede sen(9x)sen(12x)/cos(12x) y después sustituye.
Respuesta: el límite no existe. Dos sucesiones que tienden a infinito dan sen x = 1 y sen x = −1 para siempre, así que los valores nunca se asientan en un único número.
Respuesta: 1, siempre que x esté en radianes. El teorema del sándwich con cos x ≤ sin(x)/x ≤ 1 lo demuestra, y en grados el mismo límite valdría π/180.
El límite es e^(1/3) ≈ 1.3956. Es una forma 1 elevado a infinito: se toman logaritmos y se comparan los términos en x² de ln(sen x/x) y de cos x − 1 para llegar al exponente 1/3.
El resultado es √2/2, unos 0.70711. Se reescriben las dos funciones hiperbólicas con exponenciales, se saca la exponencial dominante como factor común de cada una y la constante que sobrevive es 1/√2.
El límite es 7/12. Multiplicar por el conjugado convierte la forma ∞ − ∞ en (7x + 49)/(√(36x² + 7x + 49) + 6x), cuyo comportamiento dominante es 7x/12x.
El límite vale 2/3. Escribe tan 2x como sen 2x / cos 2x, divide numerador y denominador entre x y los límites estándar sen(kx)/x dan 2/3, porque cos 0 = 1.
El límite es 0 porque tan x − sen x se comporta como x³/2, un orden por encima de x². Sustituir de entrada ambas funciones por x colapsaría el numerador a cero por la razón equivocada.
El límite es 1. Es una indeterminación del tipo 1^∞; al tomar logaritmos se convierte en (x²/3)/x, que tiende a 0, así que la expresión original tiende a e⁰.
La respuesta es 3. Una función constante devuelve la misma salida para toda entrada, así que por mucho que crezca x el valor no se aleja ni un poco de 3.
El límite no existe. La expresión es la parte fraccionaria de 1/x: a lo largo de x = 1/n vale siempre 0, mientras que a lo largo de x = 1/(n + ½) vale siempre 1/2.
La respuesta es 2. Multiplicar la suma por 1/2 y restar telescopa los coeficientes hasta dejar una serie geométrica simple, lo que da S/2 = 1 y por tanto S = 2.
El límite vale e^(−2delta/pi), no 1: la base sube hacia 1 desde abajo y el exponente infinito la arrastra. Como ese valor es menor que 1, el corchete queda negativo y su logaritmo real no está definido.
El límite es 0. Reescribirlo como x³/e^(2x) da infinito sobre infinito, y cada derivación baja la potencia en una unidad mientras la exponencial sobrevive intacta.
El límite vale 6. Escribir x − 9 como (√x − 3)(√x + 3) cancela el denominador de forma directa y deja √x + 3, que vale 6 cuando x = 9.
El límite es e⁴ ≈ 54.598. Reescribir la base como 1 + 4/(x − 1) deja la expresión en la forma estándar del número e, y el exponente aporta un factor 4 en el límite.
El límite es −8. La sustitución da 0/0, así que se factoriza x² − 16 como (x − 4)(x + 4), se cancela el x + 4 con el denominador y se evalúa x − 4 en x = −4.
El límite es −√3, aproximadamente −1.732. Las dos partes se anulan en x = 2, así que factoriza el numerador y multiplica por el conjugado para cancelar el factor común (x − 2).
El límite es +infinito. El término x² crece por encima de cualquier cota mientras que el −4 permanece fijo, así que la diferencia diverge hacia arriba y no existe ningún valor límite finito.
El límite es 4/3. La sustitución directa da 0/0, así que hay que factorizar las dos partes como (x + 5)(x − 3) y (x − 3)(x + 3), cancelar el factor común x − 3 y luego sustituir x = 3.
El límite de (x² + 5x + 4)/(x² + 3x − 4) cuando x tiende a −4 es 3/5. Ambas partes se anulan en −4, así que hay que sacar el factor común (x + 4) antes de sustituir.
Respuesta: el límite es +infinito. Reescribir el cociente como x(1+1/x)^(−x) muestra que crece como x/e, así que restar la constante 1/e no alcanza para frenar la divergencia.
Respuesta: el límite no existe. Al factorizar queda (x−3)(x+2)/|x+2|, cuyo límite por la izquierda es 5 y por la derecha es −5, así que los dos valores laterales no coinciden.
El límite es −25. Solo importan los términos lineales: el numerador se comporta como 5x y el denominador como −x/5, porque la parte √(1−x²) no aporta nada a primer orden.
El límite vale 5/16. Dos caminos: separar el numerador en dos conjugados o aplicar la regla de L'Hôpital una vez a la indeterminación 0/0. Solución paso a paso.
El resultado es 16/3 + 2 sen 2. Se separa la diferencial exacta y se evalúa en los extremos; el resto se parametriza con x = 2cos t, y = 2sen t, paso a paso.
Respuesta: ln(x/y) vale aproximadamente (x−y)/y, el cambio relativo. Añadir el siguiente término de la serie da (x−y)/y − ((x−y)/y)²/2, con un error muy por debajo del uno por ciento.
Al linealizar f(x) = (64 + x)^(1/3) en x = 0 se obtiene L(x) = 4 + x/48: la raíz cúbica de 62.5 vale 3.96875 frente al valor exacto 3.968503, con error 0.00025.
El valor es (π/sen(π/10))(ψ(0.1) + γ) ≈ −100.1039. Al derivar B(a, b) respecto de a hay que conservar Γ(a+b) en el denominador, o el resultado sale un 6% demasiado negativo.
La derivada es (sin x)^(cos x) por (cos²x/(sin x) − sin x ln sin x). Primero se toma ln en ambos miembros, porque ni la regla de la potencia ni la regla exponencial sirven por sí solas.
La serie es 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + 7x⁶ − 8x⁷ + …, es decir Σ(−1)ⁿ(n + 1)xⁿ. Sale de derivar la serie geométrica de 1/(1 + x).
La serie es x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040. Solo aparecen potencias impares porque el seno es una función impar, y los denominadores son los factoriales impares 3!, 5! y 7!.
La serie es x − (2/3)x³ + (4/5)x⁵ − (47/63)x⁷ + O(x⁹). Multiplica la serie de la tangente por la serie geométrica de 1/(1 + x²) y agrupa las potencias hasta x⁷.
Solo sobreviven las potencias pares: 10⁻¹³ − 10⁻³⁹x²/3 + 2·10⁻⁶⁵x⁴/15 − 17·10⁻⁹¹x⁶/315 + 62·10⁻¹¹⁷x⁸/2835 − 1382·10⁻¹⁴³x¹⁰/155925. Para llegar al grado 10 hace falta el término en z¹¹ de tanh.
El resultado es -k. Se desarrolla A × B = 3yz i - 4xz j - xy k, se deriva una vez respecto de x, lo que da -4z j - y k, y otra vez respecto de y, paso a paso.
Ser monótona, no acotada y no negativa obliga a f a crecer sin cota, así que a partir de cierto punto f ≥ 1 y la integral de la cola supera la longitud del intervalo, que crece sin límite.
A los 20 minutos el café está a 48.9 °C y llega a 30 °C en unos 44 minutos. Con la lectura de 65 °C a los 10 minutos se ajusta k = (1/10)ln(14/9) = 0.04418.
Por la derecha el límite vale 0 y por la izquierda es +infinito, así que el límite bilateral no existe. La sustitución t = 1/x convierte cada lado en 4t²/2^t.
La respuesta es 36 pi² < a < 64 pi². Cada k con 4 pi² k² < a aporta un par de raíces, así que hacen falta exactamente cuatro valores de k y ningún extremo vale.
Escribiendo el denominador como D y aplicando la regla de la cadena a D⁻¹ se obtiene ∂d/∂t = −100·Vy·Vm20·b / (Vm + Vm20(t − 20)b)². El −100 es constante y desaparece.
Todo salvo el cociente (Pg − Pa)/(Pv − Pa) es constante, así que la regla del cociente da ∂V/∂Pa = 1000M(Pg − Pv) / [Pg(1 + (t − 20)b)(Pv − Pa)²].
La respuesta es 2x/(x² + y²). Trata y como constante, así la derivada interior es solo 2x, y el logaritmo exterior aporta el inverso de x² + y².
La respuesta es 2xy + y cos x. Mantener y constante la convierte en un multiplicador constante, así que solo se derivan x² y sin x, término a término.
Para z = ln((x - √(x²-y²))/(x + √(x²-y²))) las parciales son z_x = -2/√(x²-y²) y z_y = 2x/(y√(x²-y²)). Desarrollo completo y comprobación numérica.
Respuesta: la parcial respecto de a es x y la parcial respecto de b es 1. En cada caso, todo símbolo distinto de aquel por el que derivas queda congelado como constante.
La solución particular es y = 4 + 2e^(x³). Separa las variables, integra hasta ln|y − 4| = x³ + C, aplica la exponencial y luego f(0) = 6 obliga a que la constante valga 2.
La solución particular es f(x) = x² + x + 4. Se antideriva f'' = 2 dos veces, luego f'(2) = 5 fija C1 = 1 y f(2) = 10 fija la segunda constante C2 = 4.
El área es π/2 + 3√3/4 ≈ 2.8698. En polares las dos circunferencias se convierten en r = 2 sen θ y r = 4 sen θ, y las dos rectas fijan θ entre π/3 y π/2.
Respuesta: 49πa⁴/32. Integra r³ hasta a⁴(1−cosθ)⁴/4, desarrolla la cuarta potencia, elimina las potencias impares del coseno y usa los valores de Wallis π, 3π/4 y 5π/8.
Respuesta: 4√2/3 − π/4 − 2/3, alrededor de 0.43355. Integra rho³/3, reduce sen⁴ con las fórmulas de reducción de potencias y luego combina en theta de pi/4 a pi/2.
La respuesta es 1/2. La integración interior en 1/r produce un logaritmo del límite inferior, y la integral restante en theta se reduce a la conocida integral de sen u ln(sen u).
Si f nunca valiera 1, ln f sería continua y nunca nula, así que por el teorema del valor intermedio conservaría un solo signo, con lo que el integrando sería estrictamente de un signo y la integral no podría ser cero.
La suma es −ln(1−x)/x para 0 < |x| < 1, con el valor removible 1 en x = 0. Sacar como factor una potencia de x la reduce a la serie estándar de −ln(1−x).
La suma es el dilogaritmo Li₂(x), convergente para |x| ≤ 1. No tiene forma cerrada elemental, pero vale π²/6 en x = 1 y −π²/12 en x = −1.
Demostración: si f es derivable en [a, ∞) y tiende al mismo número finito A tanto en a por la derecha como en el infinito, un máximo o un mínimo queda atrapado dentro, y el teorema de Fermat da f′(ξ) = 0.
Llama pico a n si a_n ≥ a_m para todo m > n. Con infinitos picos se obtiene una subsucesión no creciente; con una cantidad finita de picos se construye una estrictamente creciente.
Escribe f(x) − f(a) como el cociente incremental multiplicado por (x − a). El cociente tiende a f'(a) y (x − a) tiende a 0, así que el producto tiende a 0 y f(x) tiende a f(a).
Se hace inducción sobre n: al derivar la fórmula de orden n aparecen dos sumas cuyos términos semejantes se combinan con la regla de Pascal C(n,j) + C(n,j−1) = C(n+1,j), lo que da el caso n+1.
La sustitución C(x,t) = e^(−kt) u(x,t) elimina exactamente el término de decaimiento y deja la ecuación del calor estándar u_t = D u_xx, con todas sus soluciones conocidas.
La fórmula de reducción da I_n = −sin^(2n−1)(x)cos(x)/(2n) + ((2n−1)/(2n))·I_(n−1) con I_0 = x, y la identidad de reducción de potencias da una suma explícita de cosenos.
El valor es (e^8 - 1)/6. Como e^(y³) no tiene primitiva elemental en y, se pasa a dx dy para que la integral interior aporte el y² que exige la sustitución.
Las derivadas son −1/(2x^(3/2)), 1/2 + 2/x², (3/2)√x − 2x y 18x. Cada función hay que reescribirla primero como suma de potencias para poder aplicar la regla de la potencia.
Para a > 0 la expresión es igual a arsinh(x/√a) + (1/2)ln a. Como a no es ya un cuadrado, el factor de escala es √a y la constante es medio logaritmo.
Para a > 0 la expresión es igual a arsinh(x/a) + ln a. Dividir por a dentro del logaritmo la ajusta a la forma estándar ln(u + √(u² + 1)), y la a sobrante se convierte en ln a.
El límite es 0. La demostración aproxima una f integrable Riemann mediante una función escalonada, resuelve el caso escalonado de forma exacta y controla el error con épsilon.
f tiene un máximo local en x = 1. Ser punto crítico obliga a que f'(1) = 0, y f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0, así que la gráfica es cóncava hacia abajo en ese punto.
X(t) = C1 cos(t/√10) + C2 sin(t/√10). La ecuación característica r² + 0.1 = 0 tiene raíces imaginarias puras, así que toda solución oscila indefinidamente.
Respuesta: (y')² = 2e^y + C1 y, de forma explícita, y = ln(C1/2) − 2 ln|senh(√C1 (x − x0)/2)|. El truco está en tratar y' como función de y y no de x.
La solución es x = t⁴/24 + t³/3 + 8 e y = t⁴/24 − t³/3. Sumar y restar las dos ecuaciones las desacopla, y quedan dos integraciones dobles directas.
La respuesta es x = ((a/3)y + C)³, más la solución singular x = 0. Al dividir entre x^(2/3) queda la regla de la potencia con exponente −2/3, cuya primitiva es 3x^(1/3).
La respuesta es y = 3/4 + Ce^(−4x). Al separar queda −1/4 ln|3 − 4y| = x + C, y 3/4 es el equilibrio estable hacia el que decae la solución conforme x crece.
La solución general es y = −ln(C − x), definida solo para x < C. Separar da e^(−y)dy = dx, y la solución explota en tiempo finito cuando x tiende a C.
La solución general es y = Ce^(kx). Al separar queda dy/y = k dx, y exponenciar ln|y| = kx + C absorbe el signo y la constante en una sola C.
Respuesta: 1/(2y+3) = 1/(8x+10) + C, más la solución singular y = −3/2. Separe el cociente al cuadrado para dejar una variable en cada lado e integre las dos formas u⁻².
La respuesta es y = 1/(C − x). Integrar y^(−2) da −1/y = x + C, y toda solución no nula se dispara al infinito en x = C tras una distancia finita.
La respuesta es y = Ce^x. Al separar variables queda ln|y| = x + C, y absorber e^C en una sola constante C le permite tomar cualquier valor real, incluido el cero.
La respuesta es (y − 1)³ = 3x + C, o bien y = 1 + la raíz cúbica de 3x + C. Multiplicar por (y − 1)² es lo que separa las variables, y la raíz cúbica no necesita signo más o menos.
Para b > 0 la respuesta es y = √b tanh(√b x/a + C). Separar da dy/(b − y²), cuya integral se descompone en fracciones parciales y produce el logaritmo de un cociente.
Respuesta: 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5 + … para |x| < 1. Restar la serie de ln(1−x) a la de ln(1+x) cancela todas las potencias pares y duplica las impares.
La serie converge: el criterio del cociente da L = 1/3 < 1 y la fórmula de la serie aritmético-geométrica da el valor exacto 3/4. Justificación paso a paso.
La integral diverge. El denominador tiene un cero simple en x = 1.9569768 dentro de [−π/4, 3π/4], así que el integrando se comporta como 1/(x − c), que no es integrable.
Al derivar dos veces se obtiene x'' = −k²(sin kt + cos kt), que es exactamente −k²x. La regla de la cadena aporta un factor k en cada derivación.
La curva baja hasta un mínimo de −8/e² ≈ −1.0827 en x = −2 y luego sube hasta 0 en x = 0. Los puntos de inflexión están en x = −2 ± √2, y toda la gráfica queda sobre el eje o por debajo de él.
La asíntota oblicua en +infinito es y = 3x - 1 y la curva queda por encima. Se completa el cuadrado hasta (3x - 1)² + 2 y se aplica el truco del conjugado.
La solución es y = cosh x + C. Al aislar el radical y elevar al cuadrado se cancelan los términos en p², y queda p = (eˣ − e⁻ˣ)/2 = senh x, que se integra de forma directa.
La solución general es y = Ce^(2x) + x/2 + 1/4. El factor integrante e^(−2x) convierte el miembro izquierdo en una derivada exacta, y el miembro derecho exige integración por partes.
y = 12 + Ce^(−x/2). Reescribirla como y' + y/2 = 6 deja a la vista una ecuación lineal de primer orden cuya solución de equilibrio y = 12 atrae a todas las demás.
La solución general es y = (1/5)e^(3x) + Ce^(−2x). Se usa el mismo factor integrante e^(2x), pero el miembro derecho se integra a e^(5x)/5 en lugar de e^x.
La solución general es y = b/a + Ce^(−ax) cuando a no es cero. La constante b/a es el equilibrio hacia el que decae la solución, y el caso a = 0 da y = bx + C.
Respuesta: f(x) = C |sen((k−1)x)|^(1/(k−1)). Invierte el cociente para obtener f'/f = cot((k−1)x), integra la derivada logarítmica y aplica la exponencial.
La solución general para t > 1 es x(t) = (t − 1)(ln(t − 1) + C). Divide entre t − 1, usa el factor integrante 1/(t − 1) e integra un simple 1/(t − 1).
La solución implícita es x eʸ + 3x² = C. El test de exactitud dM/dy = dN/dx = eʸ se cumple, así que existe una función potencial, y al integrar M respecto de x se construye.
La solución es x = eᵗ(C₁cos 2t + C₂sen 2t), y = eᵗ(C₁sen 2t − C₂cos 2t). La matriz tiene valores propios 1 ± 2i, así que las trayectorias son espirales que se alejan del origen.
La solución general es y = C₁eˣ + C₂e^(2x) − xeˣ. Como eˣ ya resuelve la ecuación homogénea, hay que multiplicar la prueba por x antes de que funcionen los coeficientes indeterminados.
y = (C₁ + C₂x)e^(−x) + e^(3x)/16. La ecuación característica (r + 1)² = 0 da la raíz repetida r = −1, y la prueba Ae^(3x) obliga después a que 16A = 1.
La respuesta es y = e^(−x)(C₁ + C₂x + x²/2). La raíz característica −1 está repetida, así que la solución de prueba necesita dos factores x adicionales, no uno.
La solución general es y = C₁cos(2x) + C₂sen(2x). La ecuación característica r² + 4 = 0 da r = ±2i, así que la frecuencia angular es 2.
La solución general es y = C₁cos x + C₂sen x. La ecuación característica r² + 1 = 0 tiene las raíces ±i, lo que da una oscilación de frecuencia angular 1.
La respuesta es y = C₁cos(x) + C₂sen(x) + 12. Las raíces características son ±i, y una solución de prueba constante da de inmediato la parte particular.
La serie suma 1/2. Factorizar 4n² − 1 como (2n−1)(2n+1) y descomponer en fracciones parciales hace que todos los términos interiores se cancelen por parejas.
Las fracciones parciales dan (1/2)(1/n − 1/(n+2)), una suma telescópica con salto de dos, así que sobreviven los dos primeros términos y el total es 3/4.
La suma vale e² ≈ 7.389. Es la serie exponencial Σxⁿ/n! evaluada en x = 2; empezar la suma en n = 1 elimina el término n = 0 y da e² − 1.
La suma vale 4. Sacar el 2 como factor deja Σk(1/2)^k, que la fórmula x/(1−x)² evalúa en 2 para x = 1/2, así que el total es 2 por 2.
La respuesta es −ζ′(2) ≈ 0.9375482543. Derivar ζ(s) = Σ n⁻ˢ término a término produce −ln n · n⁻ˢ, así que tomar s = 2 identifica la serie de forma exacta.
La suma vale exactamente 1. Escribir n como (n+1) − 1 separa el término en 1/n! − 1/(n+1)!, y las sumas parciales se reducen a 1/1! menos una cola que se desvanece.
La suma vale ln 2 ≈ 0.6931472. Reescribe 1/(n·2ⁿ) como (1/2)ⁿ/n, identifícala con la serie de Mercator −ln(1 − x) = Σ xⁿ/n para |x| < 1, sustituye x = 1/2 y simplifica.
El área es 15√21, unos 68.74. Para un plano el integrando del área de superficie es constante, así que la respuesta es √(1 + fx² + fy²) multiplicado por el área de la base.
La pendiente es 72 y el punto de tangencia es (2, 26), no (2, −2), así que la recta tangente es y = 72x − 118. Incluye la comprobación que corrige el punto impreso.
La serie es (a e⁻²/4b²)(1 − x³/12b³ + x⁴/8b⁴ + …). Los términos en x y en x² se cancelan exactamente: la sustitución t = x/b deja todo el desarrollo libre de parámetros.
La serie de Maclaurin es Σ (ln 2)ⁿ xⁿ / n! = 1 + 0.6931x + 0.2402x² + …, válida para todo x real. Convierte 2ˣ en e^(x ln 2) y reutiliza la serie exponencial.
El polinomio de Taylor de grado 5 es 5x + (7/6)x³ + (43/24)x⁵. Se construye multiplicando las series de sen x y sec² x y sumando después la serie de sen 2x.
La serie es la suma de xⁿ/n! para n ≥ 0, es decir 1 + x + x²/2! + x³/3! + …, porque toda derivada de eˣ vuelve a ser eˣ y vale 1 en x = 0. Converge para todo x real.
ln(√(x²+1)+x) = x − x³/6 + 3x⁵/40 − 5x⁷/112 + … en [−1, 1]. La función es el arcoseno hiperbólico, así que se deriva a 1/√(1+x²) y se usa la serie binomial.
Respuesta: 1 + x − x²/2 + x³/2 − 5x⁴/8 + …, válida para |x| ≤ 1/2. Aplica la serie binomial con alfa = 1/2 y t = 2x, arrastrando en cada término su potencia de 2.
Respuesta: 1 + x²/2 − x⁴/8 + x⁶/16 − 5x⁸/128 + … en [−1, 1]. Sustituir t = x² en la serie binomial con alfa = 1/2 deja únicamente potencias pares de x.
La suma de 1/(√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)) vale 1/√2. Factorizar el denominador convierte el término en 1/√(n+1) menos 1/√(n+2).
Las respuestas son 5, 8 y 1/4. La continuidad resuelve el primero, cancelar (x−3) resuelve el segundo y multiplicar por el conjugado resuelve la tercera forma 0/0.
El valor es pi/12. Con coordenadas cilíndricas en torno al eje x, las superficies se cortan en r = 1, el sólido va de x = r² hasta x = r y dV = r dx dr dtheta.
Respuesta: −466/5 exactamente. Tras integrar en z hasta −2x+4y−4 y en y hasta 2x−2, el integrando exterior es una cuártica en x cuya integral de 2 a 3 vale −466/5.
La integral vale 3πa⁴/2. Como el integrando no contiene x, la integración en x solo multiplica por 2π, y las integraciones en z y en y dan a⁴ y 3/4 respectivamente.
El valor es 15/2. Como la caja tiene límites constantes y el integrando es un producto, se integra en x, luego en y y por último en z, sacando las constantes en cada etapa.
El valor es 19/2. Como el integrando es un producto de una función de x, una de y y una de z sobre una caja, la integral triple se separa en tres integrales de una variable.
El valor exacto es −648/5. Integrar primero en z deja −2y(9−x²−y²), la integral en y se reduce a −(9−x²)²/2, y las coordenadas cilíndricas lo confirman.
Respuesta: 25/2 exactamente. Como 5 − 5x es negativo para x > 1, los límites en y quedan invertidos; arrastrar esa orientación a lo largo de la integral iterada da +25/2.
Respuesta: −188 exactamente. Integrar −5y en z da −5y(9−x²−y²); la integral en y se reduce a −(5/4)(9−x²)², y la integral en x de −1 a 1 da −188.
Respuesta: 2π(1 − √3/2)(1 − cos 1)/3, unos 0.128989. Las coordenadas esféricas convierten el cono en un ángulo fijo φ = π/6 y dejan el integrando como función solo de ρ.
La integral de x sobre el sólido interior a z = x² + y² hasta z = 3 vale 0. La región es simétrica respecto del plano x = 0 y el integrando es impar en x, así que todo se cancela.
La respuesta es 1/4. Por simetría, cada una de x, y y z integra 1/24 sobre el tetraedro, así que el total ponderado es simplemente (1 + 2 + 3)/24, es decir 6/24.
La integral vale 336π. En coordenadas cilíndricas el integrando es simplemente r², el radio del disco es √(2z), y todo el cálculo se reduce a 2π∫z² dz.
La integral vale 340π. Cambia a coordenadas cilíndricas, usa r ≤ √(2z) para 2 ≤ z ≤ 8 y separa el factor angular cos²θ sen²θ, cuya integral en una vuelta completa vale π/4.
El valor es 4pi/5, unos 2.5133. Las coordenadas esféricas convierten el integrando en rho^4 sen(phi) y las tres integrales se separan en 2pi por 2 por 1/5.
El valor es 0. En coordenadas cilíndricas el factor angular es la integral de cos θ sen θ sobre una vuelta completa, que se anula, así que no hace falta ningún trabajo radial ni en z.
El valor es 1/8. Como el cubo tiene límites constantes y el integrando es un producto de factores de una sola variable, la integral triple es simplemente (1/2)³: un medio por cada dirección.
El resultado es 1 − e^(−k) por los seis primeros términos de la serie de e^k. La fórmula de volumen del símplex convierte la integral triple en una única integral de tipo gamma.
El valor es 0. Integrando en z y luego en y se reduce a la integral de (x − x⁷)/6 sobre [−1, 1]: una función impar en un intervalo simétrico, así que se cancela exactamente.
El valor es 64π/3. Con z variando desde y² hasta 4, la integral interna deja 8y − y⁵/2, cuya integral en y vale 32/3, y la dirección x aporta un factor 2π.
El valor es 32π⁵/5. El límite interno en z depende de x, no de y, así que integrar en z y luego en y deja la única potencia x⁴, y el límite superior 2π es el que produce el π⁵.
El valor es 32π/3. La integral interna se reduce a y⁵/2 porque tanto el integrando como el límite superior de z contienen y, y la dirección x solo aporta un factor 2π.
La integral vale π(4 − √2)/30, aproximadamente 0.270783. Las coordenadas cilíndricas convierten el cono en el límite inferior de z y la esfera en el superior, y ambas se cortan en r = 1/√2.
El valor es 3/2. La región es el tetraedro de intersecciones x = 1, y = 3, z = 3, así que integrar primero en y, después en x y por último en z reproduce el mismo volumen.
El resultado es −268. Solución completa en el orden dz dy dx que muestra cómo se sustituye cada límite y por qué conviene arrastrar fracciones exactas hasta el final.
El volumen es aproximadamente 0.7342. Los límites simétricos en z hacen que la integral interna sea el doble de una raíz cuadrada, la integral en y aporta una longitud y la integral final en x es numérica.
El valor es 612. Todos los límites van de mayor a menor, así que los tres cambios de signo se multiplican y dejan un único signo menos global, y la integración más interna se hace primero.
Hay dos asíntotas horizontales, y = a e y = −a, siempre que a sea finito y distinto de cero. Si a = 0 ambas coinciden y solo queda la recta y = 0.
Una cota limpia es 1 + (π²/6 − 1)/ln 2 = 1.93044, que sale de ln n ≥ ln 2 para n ≥ 2. La suma real vale unos 1.4976, así que la cota es segura pero no ajustada.
a = 2. La continuidad en el empalme exige que el límite por la izquierda de x² + 2x − 3, que vale 5, coincida con el valor 2a + 1 del trozo derecho, así que 2a + 1 = 5.
El numerador de la derivada es m − 4, así que m > 4; además el polo x = −m no puede caer en (−∞, −7), lo que da m ≤ 7. La respuesta es el intervalo semiabierto (4, 7].
Derivando una vez se obtiene v = 15t² + 3 y derivando dos veces a = 30t, así que en t = 5 segundos la velocidad es 378 m/s y la aceleración es 150 m/s².
v(3) = 44/3 m/s, unos 14.67 m/s. La integral definida de la aceleración en [1, 3] da la variación de velocidad, así que la condición inicial en t = 1 se suma al final.
El volumen es 16√2π/3, aproximadamente 23.695. En coordenadas esféricas la condición x² + y² ≥ z² es simplemente π/4 ≤ φ ≤ 3π/4, y ρ y θ recorren todo su rango.
Reescribe las dos curvas con x en función de y: el radio exterior es √y y el interior es y². Entonces V = π por la integral de y − y⁴ de 0 a 1 = 3π/10.
Girar alrededor del eje x la región bajo y = x² + 5 desde x = 0 hasta x = 5 da V = 3500π/3 ≈ 3665.19. Planteamiento completo y evaluación con el método de los discos, paso a paso.
El volumen es (e⁶ − 1)/2 = 201.21. Mira cómo el lado de cada cuadrado resulta ser e^x, de modo que la integral de volumen es la integral de e^(2x) de 0 a 3.
El volumen es πa³/3. En coordenadas esféricas la superficie pasa a ser ρ = a(cos φ)^(1/3), y el ρ³ que aparece cancela la raíz cúbica, dejando una integral en φ muy sencilla.
La fórmula de reducción I(n) = ((n−1)/n) I(n−2) con I(0) = π/2 e I(1) = 1 da el resultado de Wallis: con n par se conserva un factor π/2 y con n impar no.
Una serie de Taylor necesita f(0) y todas las derivadas en 0, pero 1/x no está definida ahí. El desarrollo correcto en torno a 0 es la serie de Laurent x⁻¹, que tiene una potencia negativa.
Casi: la respuesta correcta es x²/2 + C. La regla de la potencia da x²/2, pero toda función x²/2 + C tiene derivada x, así que la primitiva es una familia entera, no una sola función.
La integral de x⁷ dx es x⁸/8 + C, no x⁸/3 + 7. La regla de la potencia divide entre el nuevo exponente 8, y al derivar x⁸/3 se obtiene 8x⁷/3 en lugar de x⁷.