Calcula la integral triple de (3a·z²·sen y + 2z³·sen y·cos y) sobre la caja 0 ≤ x ≤ 2π, π/2 ≤ y ≤ π, 0 ≤ z ≤ a, donde a es una constante positiva.

Step-by-step solution

1. 1

   Aprovecha la variable ausente. El integrando no contiene ninguna $x$, y los límites en $x$ son constantes. Por tanto, la integración exterior solo aporta la longitud del intervalo:

   $I=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\!\int_{0}^{a}\bigl(3az^{2}\sin y+2z^{3}\sin y\cos y\bigr)\,dz\,dy.$

   Detectar esto de entrada elimina una variable entera antes de empezar el trabajo de verdad.

2. 2

   Integra en $z$, tratando $\sin y$ y $\cos y$ como constantes. Ambos términos son potencias puras de $z$:

   $\int_{0}^{a}3az^{2}\,dz=3a\cdot\frac{a^{3}}{3}=a^{4},\qquad \int_{0}^{a}2z^{3}\,dz=2\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{a^{4}}{2}.$

   Así que la integral interior es

   $a^{4}\sin y+\frac{a^{4}}{2}\sin y\cos y=a^{4}\Bigl(\sin y+\tfrac12\sin y\cos y\Bigr).$

   Observa que el parámetro $a$ sale por completo como $a^{4}$: la respuesta tiene que ser proporcional a $a^{4}$.

3. 3

   Integra la primera pieza trigonométrica sobre $[\pi/2,\pi]$.

   $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\,dy=\bigl[-\cos y\bigr]_{\pi/2}^{\pi}=-(-1)-(0)=1.$

4. 4

   Integra la segunda pieza por sustitución. Con $u=\cos y$, $du=-\sin y\,dy$, se tiene $\int\sin y\cos y\,dy=-\tfrac{u^{2}}{2}=-\tfrac{\cos^{2}y}{2}$. Por lo tanto

   $\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\cos y\,dy=\frac12\left[-\frac{\cos^{2}y}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=-\frac14\bigl(1-0\bigr)=-\frac14.$

   El signo negativo era de esperar: en $(\pi/2,\pi)$ el seno es positivo pero el coseno es negativo, así que el producto integra a algo negativo.

5. 5

   Combina los tres factores. La integral en $y$ vale $1-\tfrac14=\tfrac34$, de modo que

   $I=2\pi\cdot a^{4}\cdot\frac34=\frac{3\pi a^{4}}{2}.$

   Sustituyendo $a=2$ y evaluando la integral triple original por cuadratura numérica adaptativa se obtiene $75.398224$, y $\tfrac32\pi\cdot 2^{4}=24\pi=75.398224$: ambas coinciden.