Calcula la integral de 0 a 1 de ln(x) dividido entre (x elevado a 0.9 por (1 − x) elevado a 0.1), respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Lleva el integrando a la forma de la función beta. Reescríbelo como

   $I = \int_0^1 x^{-0.9}(1-x)^{-0.1}\ln x\,dx$

   y compáralo con

   $B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

   Igualando exponentes se obtiene $a - 1 = -0.9$, o sea $a = 0.1$, y $b - 1 = -0.1$, o sea $b = 0.9$. Ambos exponentes superan $-1$, así que la integral converge en cada extremo pese a las singularidades.

2. 2

   Genera el logaritmo derivando respecto de a. Derivar bajo el signo integral hace bajar exactamente $\ln x$:

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\ln x\,dx$

   de modo que $I = \left.\partial_a B(a,b)\right|_{a=0.1,\,b=0.9}$.

3. 3

   Deriva correctamente: la trampa es la tercera gamma. A partir de $B(a,b) = \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$, la derivación logarítmica con $b$ fijo da

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = B(a,b)\bigl[\psi(a) - \psi(a+b)\bigr]$

   Es tentador notar que $a + b = 1$ en el punto de evaluación y escribir $B = \Gamma(a)\Gamma(b)$ antes de derivar, pero $a+b$ no es constante cuando $a$ varía, así que descartar $\Gamma(a+b)$ hace perder por completo el término $-\psi(a+b)$.

4. 4

   Evalúa el valor de la beta con la fórmula de reflexión. En $a = 0.1$, $b = 0.9$ sí se cumple $a + b = 1$, así que $\Gamma(a+b) = \Gamma(1) = 1$ y

   $B(0.1, 0.9) = \Gamma(0.1)\Gamma(0.9) = \frac{\pi}{\sin(0.1\pi)} = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)} \approx 10.16640$

5. 5

   Arma el factor digamma. Con $\psi(1) = -\gamma$ (Euler-Mascheroni, $\gamma \approx 0.5772157$) y $\psi(0.1) \approx -10.4237549$:

   $\psi(0.1) - \psi(1) = -10.4237549 + 0.5772157 = -9.8465392$

   de donde

   $I = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)}\bigl(\psi(0.1) + \gamma\bigr)$

6. 6

   Calcula y verifica numéricamente.

   $I \approx 10.1664075 \times (-9.8465392) \approx -100.10393$

   Una integración numérica independiente —sustituyendo $x = u^{10}$ cerca de $0$ y $x = 1 - v^{10}$ cerca de $1$ para domar ambas singularidades, y aplicando después Gauss-Legendre con $300$ nodos— da $-100.10393$, lo que confirma la forma cerrada. (Omitir el término $-\psi(a+b)$ habría dado $-105.97$, un $6\%$ demasiado negativo.) El resultado es negativo porque $\ln x < 0$ en todo el intervalo.