Halla la primera y la segunda derivada de f(x) = e^(−x²) · sen(3x).

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la regla del producto. Con $u = e^{-x^2}$ y $v = \sin(3x)$, los dos factores son a su vez composiciones, así que hace falta la regla de la cadena dentro de cada derivada:

   $u' = e^{-x^2}\cdot(-2x) = -2xe^{-x^2}, \qquad v' = 3\cos(3x)$

   Las derivadas interiores $-2x$ y $3$ son los dos factores que más se olvidan aquí.

2. 2

   Monta la primera derivada y saca factor común.

   $f'(x) = -2xe^{-x^2}\sin(3x) + 3e^{-x^2}\cos(3x) = e^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right)$

   Sacar $e^{-x^2}$ al frente mantiene manejable la segunda derivación.

3. 3

   Deriva el paréntesis para llegar a la segunda derivada. Sea $w = 3\cos 3x - 2x\sin 3x$. Entonces

   $w' = -9\sin 3x - \left(2\sin 3x + 6x\cos 3x\right) = -11\sin 3x - 6x\cos 3x$

   El término $-2x\sin 3x$ necesita otra vez la regla del producto y aporta tanto $-2\sin 3x$ como $-6x\cos 3x$.

4. 4

   Aplica la regla del producto una vez más.

   $f''(x) = u'w + uw' = -2xe^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right) + e^{-x^2}\left(-11\sin 3x - 6x\cos 3x\right)$

5. 5

   Agrupa los términos con seno y con coseno. Los términos con coseno dan $-6x - 6x = -12x$ y los términos con seno dan $4x^2 - 11$:

   $f''(x) = e^{-x^2}\left(\left(4x^2 - 11\right)\sin 3x - 12x\cos 3x\right)$

6. 6

   Comprueba en x = 0. Con las fórmulas, $f'(0) = 1\cdot(3 - 0) = 3$ y $f''(0) = 1\cdot(-11\cdot 0 - 0) = 0$. De forma directa, cerca de $0$ tenemos $f(x) \approx (1-x^2)(3x - \tfrac{9x^3}{2}) = 3x + O(x^3)$, así que la pendiente en el origen es $3$ y la segunda derivada se anula: las dos cosas quedan confirmadas.