Halla la serie de Taylor de (1 − x)^k alrededor de x = 0, donde k es cualquier número real. Da el término general y el radio de convergencia.

Step-by-step solution

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   Usa el teorema del binomio generalizado en lugar de las derivadas. En principio la serie de Maclaurin es $\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$, pero calcular a mano $f^{(n)}(x)=(-1)^{n}k(k-1)\cdots(k-n+1)(1-x)^{k-n}$ es laborioso. La serie binomial empaqueta el mismo resultado:

   $(1+t)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}t^{n},\qquad \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},$

   válida para $|t|<1$ y para cualquier $k$ real, no solo para enteros no negativos.

2. 2

   Sustituye $t=-x$. Es el único ajuste necesario:

   $(1-x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{k}{n}x^{n}.$

   El factor $(-1)^{n}$ es el origen de todos los signos del desarrollo.

3. 3

   Escribe los primeros términos. Al desarrollar los coeficientes:

   $(1-x)^{k}=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots$

   Contrasta con un caso conocido: con $k=-1$ cada coeficiente $(-1)^{n}\binom{-1}{n}$ vale $1$, y se recupera la serie geométrica $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ ✓.

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   Observa cuándo la serie se corta. Si $k$ es un entero no negativo, el factor $(k-n)$ hace que $\binom{k}{n}=0$ para todo $n>k$, así que la suma se detiene y se reduce al desarrollo binomial finito de siempre; por ejemplo $(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$. Para cualquier otro $k$ la serie es genuinamente infinita.

5. 5

   Da el radio de convergencia y verifícalo numéricamente. Por el criterio del cociente, $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{k-n}{n+1}\right||x|\to|x|$, así que la serie converge para

   $|x|<1$

   y diverge para $|x|>1$; el comportamiento en los extremos depende de $k$ (converge en los dos extremos cuando $k>0$). Comprobación numérica con $k=2.5$ y $x=0.3$: sumar sesenta términos da $0.409963413001697$ frente a $(0.7)^{2.5}=0.409963413001697$ ✓.