Halla la suma de la serie infinita cuyo término n-ésimo es 1/(n(n + 2)), sumada desde n = 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Descompón en fracciones parciales. De $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$ se obtiene $1=A(n+2)+Bn$, así que $A=\frac12$ y $B=-\frac12$, lo que da $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$.

2. 2

   Fíjate en el salto de dos. A diferencia de un telescopaje entre términos vecinos, aquí cada pieza negativa cancela la pieza positiva situada dos lugares más adelante. Eso significa que sobreviven dos términos al principio y dos al final, no uno.

3. 3

   Escribe la suma parcial. $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1+\frac12\right)-\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)\right]$, ya que solo $\frac11,\frac12$ nunca llegan a cancelarse por delante y $\frac{1}{N+1},\frac{1}{N+2}$ nunca llegan a cancelarse por detrás.

4. 4

   Toma el límite. Cuando $N\to\infty$ las dos fracciones finales se desvanecen y queda $S=\frac{1}{2}\left(1+\frac12\right)$.

5. 5

   Simplifica. $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.

6. 6

   Comprobación numérica. Sumar los primeros $2\times10^{6}$ términos da $0.7499995$, lo que coincide con $\frac34$ hasta la sexta cifra decimal.