Calcula la integral de sen²(x)·cos³(x) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta la potencia impar. El coseno aparece elevado a la potencia impar $3$. Siempre que uno de los dos factores trigonométricos tenga exponente impar, ese factor puede aportar el diferencial para una sustitución, así que no hace falta ninguna fórmula de reducción.

2. 2

   Aparta un coseno. Escribe $\cos^3 x=\cos^2 x\cdot\cos x$, con lo que la integral pasa a ser $\int\sin^2 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx$.

3. 3

   Transforma la parte par restante. Usando la identidad pitagórica $\cos^2 x=1-\sin^2 x$, el integrando queda $\int\sin^2 x\left(1-\sin^2 x\right)\cos x\,dx$. Ahora todo es una función de $\sin x$ multiplicada por $\cos x\,dx$.

4. 4

   Sustituye $u=\sin x$. Entonces $du=\cos x\,dx$ y la integral se reduce al polinomio $\int u^2\left(1-u^2\right)du=\int\left(u^2-u^4\right)du$.

5. 5

   Integra y deshaz la sustitución. $\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$.

6. 6

   Comprueba con números. Evaluar esta primitiva entre $0$ y $1$ da $0.11423043$, y la regla de Simpson aplicada al integrando original en ese mismo intervalo devuelve $0.11423043$: las dos coinciden.