Halla la derivada de f(x) = 2e^(3x).

Step-by-step solution

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   Separa los tres ingredientes. La función es una constante $2$ multiplicada por una composición $e^{3x}$, cuya función exterior es $e^{u}$ y cuya función interior es $u=3x$. Las constantes salen directamente de la derivada, así que el trabajo de verdad está en la composición.

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   Deriva la exponencial exterior. La exponencial es su propia derivada:

   $\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}$

   así que no aparece ninguna función nueva: solo un factor procedente de la regla de la cadena puede cambiar el resultado.

3. 3

   Deriva la función interior y aplica la regla de la cadena.

   $\frac{d}{dx}(3x)=3\ \Longrightarrow\ \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}$

   Olvidar ese factor 3, escribiendo $e^{3x}$ como si fuera su propia derivada, es el error más habitual con las exponenciales.

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   Multiplica por la constante.

   $\frac{d}{dx}\left(2e^{3x}\right)=2\cdot 3e^{3x}=6e^{3x}$

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   Generaliza y comprueba. El mismo razonamiento da $\dfrac{d}{dx}\left(Ce^{kx}\right)=kCe^{kx}$ para constantes $C,k$ cualesquiera: la forma exponencial sobrevive y solo cambia el coeficiente. Numéricamente, en $x=0.4$ una diferencia central da $19.9207$, y $6e^{1.2}=19.9207$ ✓.